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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:59 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Zusammen
Ich habe bei einer Aufgabe einen Zahlkörper [mm]K[/mm] gegeben.
Ich habe bereits gezeigt, dass die Norm eines Primideals in [mm]\mathbb{Z}_{K}[/mm] von der Form [mm]N(P) = p^{f}[/mm] ist für eine Primzahl [mm]p \ge 2[/mm] und [mm]f \ge 1[/mm]. Auch gezeigt habe ich, dass für ein solches [mm]p[/mm], das Ideal [mm]p\mathbb{Z}_{K}[/mm] höchstens [mm]\left[K:\mathbb{Q}\right][/mm] Primidealteiler hat.
Ich stecke nun an der dritten Teilaufgabe fest. Ich muss zeigen, dass die [mm]n[/mm]'te harmonische Zahl [mm]h_{n} \le 1+log(n)[/mm] ist. Ich habe dies per Induktion versucht, jedoch hackt es im folgenden Schritt:
[mm]h_{n+1} = h_{n}+\frac{1}{n+1} \le 1+ln(n)+\frac{1}{n+1} \le 1+ln(n+1)[/mm]
Wie kann ich die letzte Ungleichung verifizieren? Wahrscheinlich ist es ganz einfach.. aber ich sehe es ehrlich gesagt nicht.. (war ganz einfach.. danke an statler für die Antwort!)
Ziel der Ungleichung ist es, danach folgendes zu zeigen:
[mm]#\lbrace(n_{1},...,n_{d}) \in \mathbb{N}^{d}: n_{1}\cdots n_{d} \le n\rbrace \le nh_{n}^{d-1} \le n(1+log(n))^{d-1}[/mm]
Die zweite Ungleichung ist ja trivial. Aber für die erste wäre ich froh um Hilfe!
Hat jemand eine Idee? Wäre um jeden Tipp dankbar :)
Grüsse, Arcesius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 Mo 08.11.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ich stecke nun an der dritten Teilaufgabe fest. Ich muss
> zeigen, dass die [mm]n[/mm]'te harmonische Zahl [mm]h_{n} \le 1+log(n)[/mm]
1/2 + 1/3 + ... +1/n ist gerade eine Untersumme für [mm] \integral_{1}^{n}{dx/x} [/mm] = ln(n)
(falls dir das hilft)
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:51 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> (falls dir das hilft)
>
Ja sicher! Für den ersten Teil ist das super, danke :)
(Ich stelle die Frage als teilweise beantwortet, damit man noch auf den zweiten Teil antworten kann)
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Di 09.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ziel der Ungleichung ist es, danach folgendes zu zeigen:
>
> [mm]\#\lbrace(n_{1},...,n_{d}) \in \mathbb{N}^{d}: n_{1}\cdots n_{d} \le n\rbrace \le nh_{n}^{d-1} \le n(1+log(n))^{d-1}[/mm]
>
> Die zweite Ungleichung ist ja trivial.
Bzw. folgt aus dem davor 
Nennen wir die Anzahl der $d$-Tupel [mm] $(n_1, \dots, n_d)$ [/mm] mit [mm] $n_1 \dots n_d \le [/mm] n$ mal $C(n, d)$. Du sollst also zeigen $C(n, d) [mm] \le [/mm] n [mm] h_n^{d - 1}$. [/mm] Bezeichnen wir auch noch die Menge dieser Tupel mit $M(n, d)$; dann ist $|M(n, d)| = C(n, d)$.
Hier koennte Induktion praktisch sein, etwa nach $d$. Der Induktionsanfang ist einfach.
Sei also $d > 1$. Es ist $M(n, d) = [mm] \bigcup_{k=1}^n \{ (\underline{n}, k) \mid \underline{n} \in M(n / k, d - 1) \}$ [/mm] und somit $C(n, d) = [mm] \sum_{k = 1}^n C(\lfloor [/mm] n / k [mm] \rfloor, [/mm] d - 1)$.
Nach Induktionsvoraussetzung ist dies [mm] $\le \sum_{k=1}^n \lfloor [/mm] n/k [mm] \rfloor h_{\lfloor n/k \rfloor}^{d-1}$. [/mm] Jetzt kannst du [mm] $h_{\lfloor n/k \rfloor}^{d-1}$ [/mm] nach oben durch [mm] $h_n$ [/mm] abschaetzen, und dann [mm] $h_n [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ [/mm] ausklammern, und schon steht das Ergebnis da.
LG Felix
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Hallo
Erstmals danke schön für die Antworten.. die haben mir sehr weitergeholfen :)
Ich habe noch eine weitere Teilaufgabe vor mir, zu welcher ich wieder Hilfe bräuchte.. und zwar soll ich zeigen, dass:
Für [mm]n \in \mathbb{N}[/mm] gibt es höchstens endlich viele Ideale [mm]I \subset \mathbb{Z}_{K}[/mm] mit [mm]N(I) \le n[/mm].
Tönt an sich nicht schwierig, jedoch stelle ich mich nicht wirklich gescheit an.
Ich wollte annehmen, es gäbe unendlich viele sohcle Ideale.
Dann betrachte ich zunächst die Hauptideale. Von denen gibt es nur endlich viele, die die Eigenschaft erfüllen, da [mm]N(a\mathbb{Z}_{K}) = N(a) = \mid a \mid^{d}[/mm] mit [mm]d = \left[K:\mathbb{Q}\right][/mm] und somit [mm]\mid a \mid \le \sqrt[d]{n}[/mm].
Diese Ideale haben in [mm]CL_{K}[/mm] die Klasse [mm]\left[I\right] = 1[/mm]
Ich wollte nun zeigen dass, sollte es unendlich viele Ideale geben, die diese Eigenschaft erfüllen, die Klassengruppe nicht mehr endlich wäre.. das würde ja ein Widerspruch bedeuten.
Jedoch weiss ich nicht wie ich die vorherige Teilaufgabe hier benutzen kann..?
Danke für die Mühe euch allen :)
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 11.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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