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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 So 07.03.2010 | | Autor: | jaktens |
| Aufgabe | Eine Urne enthält n Kugeln, die mit den Ziffern 1,2,...,n gekennzeichnet sind. Es wird eine Kugel gezogen. Die Zufallsgröße X gibt die Ziffer der gezogenen Kugel an.
a) Berechnen sie E(X), V(X) und die Standartabweichung [mm] \partial(x).
[/mm]
b) Bestimmen sie für beliebige n die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses [mm] |X-E(X)|<\partial(x). [/mm] Mit wachsendem n strebt diese Wahrscheinlichkeit gegen einen Grenzwert a.
Bestimmen Sie a. |
Zu Aufgabenteil a):
Hier habe ich alle Lösungen finden können.
E(X)= [mm] (\bruch{n+1}{2})=\mu, [/mm]
da [mm] \bruch{1}{n}=P(X=xi) [/mm] und die Summer aller n Zahlen [mm] n*(\bruch{n+1}{2}) [/mm] ist.
V(x)= [mm] \summe_{i=1}^{n}(xi-\mu)^2*P(X=xi) [/mm]
V(x)= [mm] \bruch{1}{n}\{(1-(\bruch{n+1}{2}))^2+(2-(\bruch{n+1}{2}))^2+...+((n-1)-(\bruch{n+1}{2}))^2+(n-(\bruch{n+1}{2}))^2\}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n}\{1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2+n*((\bruch{n+1}{2}))^2-(2(\bruch{n+1}{2})*(1+2+...+(n-1)+n)\}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n}\{\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+n(\bruch{n+1}{2})^2-2n(\bruch{n+1}{2})^2\}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)(2n+1)}{6}-(\bruch{(n+1)}{2})^2
[/mm]
[mm] =\bruch{(n^2-1)}{12}
[/mm]
Die gesuchte Varianz ist [mm] \bruch{(n^2-1)}{12}.
[/mm]
Die gesuchte Standartabweichung [mm] \partial=\wurzel{\bruch{(n^2-1)}{12}}
[/mm]
Bis hierher habe ich keine Fragen. Im Aufgabenteil b) hänge ich jedoch schon bei der Formulierung der Ungleichung bzw weiß ich leider nicht, was ich für das X einsetzen soll.
Mein Ansatz bis hierher:
[mm] |X-E(X)|<\partial(x)
[/mm]
bzw
[mm] |X-(\bruch{n+1}{2})|<\bruch{(n^2-1)}{12}
[/mm]
Könnte mir jemand mit nem Schubser in die richtige Richtung behilflich sein bzw verraten, was ich für X einsetzen soll??
Danke für die Mühen im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 So 07.03.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
>
> Mein Ansatz bis hierher:
> [mm]|X-E(X)|<\partial(x)[/mm]
>
> bzw
>
> [mm]|X-(\bruch{n+1}{2})|<\bruch{(n^2-1)}{12}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier muss es wohl
[mm]|X-(\bruch{n+1}{2})|<\sqrt{\bruch{(n^2-1)}{12}}[/mm]
heissen.
>
> Könnte mir jemand mit nem Schubser in die richtige
> Richtung behilflich sein bzw verraten, was ich für X
> einsetzen soll??
Betrachte den Grenzfall
[mm] $(X-(\bruch{n+1}{2}))^2={\bruch{(n^2-1)}{12}}$
[/mm]
und loese nach $X$ auf ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 So 07.03.2010 | | Autor: | jaktens |
Danke für den Hinweis mit der fehlenden Wurzel, die gehört dort natürlich hin!
Ich hab ein wenig rumgerechnet (ohne Ergebnis) und habe nun erst mal eine grundsätzliche Frage betreffs des weiteren Vorgehens meinerseits:
Multipliziere ich [mm] (X-\bruch{(n+1)}{2})^2 [/mm] jetzt wie einen Binom aus?
Wenn ja, dann stoße ich auf eine quadratische Gleichung mit maximal zwei Lösungen:
[mm] 0=X^2-2x\bruch{(n+1)}{2}+(\bruch{(n+1)}{2})^2-\bruch{(n^2-1)}{12}
[/mm]
Gehe ich nun über die Lösungsformel für quadratische Gleichungen bekomme ich für beliebig große n keinen mir ersichtlichen Grenzwert...
Ich müsste doch eigentlich auf eine Folge stoßen, deren Grenzwert ich bestimmen kann.
Hänge grade in der Luft!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 So 07.03.2010 | | Autor: | luis52 |
> Danke für den Hinweis mit der fehlenden Wurzel, die
> gehört dort natürlich hin!
>
> Ich hab ein wenig rumgerechnet (ohne Ergebnis) und habe nun
> erst mal eine grundsätzliche Frage betreffs des weiteren
> Vorgehens meinerseits:
>
> Multipliziere ich [mm](X-\bruch{(n+1)}{2})^2[/mm] jetzt wie einen
> Binom aus?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wenn ja, dann stoße ich auf eine quadratische Gleichung
> mit maximal zwei Lösungen:
>
> [mm]0=X^2-2x\bruch{(n+1)}{2}+(\bruch{(n+1)}{2})^2-\bruch{(n^2-1)}{12}[/mm]
>
> Gehe ich nun über die Lösungsformel für quadratische
> Gleichungen bekomme ich für beliebig große n keinen mir
> ersichtlichen Grenzwert...
Wie lauten denn deine Loesungen?
Willst du noch etwas rechnen, oder soll ich dir verraten, was ich (mit Mathematica) erhalte?
> Ich müsste doch eigentlich auf eine Folge stoßen, deren
> Grenzwert ich bestimmen kann.
Ist auch so.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 So 07.03.2010 | | Autor: | jaktens |
Ok, wenn ich über die p-q Formel gehe, bekomme ich
$ [mm] 0=X^2-2x\bruch{(n+1)}{2}+(\bruch{(n+1)}{2})^2-\bruch{(n^2-1)}{12} [/mm] $
[mm] x_{1;2}=\bruch{(n+1)}{2}\pm\wurzel{(\bruch{(n+1)}{2})^2-((\bruch{(n+1)}{2})^2-\bruch{(n^2-1)}{12})}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)}{2}\pm\wurzel{\bruch{(n^2-1)}{12})}
[/mm]
und jetzt seh ich für beliebig gr0ße n keinen Grenzwert....je größer n, desto betragsmäßig größer der Gesamtausdruck!
Oder hab ich hier nen kompletten Dreher drin??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 So 07.03.2010 | | Autor: | luis52 |
Hallo Achim,
das sieht schon prima aus. Nun bestimme noch
[mm] $P(|X-\text{E}[X]|<\sigma(X))\approx P((X-\text{E}[X])^2\le\sigma(X)^2)$ [/mm] ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 So 07.03.2010 | | Autor: | jaktens |
Ich glaube, das ich genau hier hänge bzw nicht weiß, was ich nun rechnen soll.
Hab eben noch mal den Ansatz hier versucht (überhaupt richtig??),
[mm] |X-E(X)|<\partial
[/mm]
[mm] -\partial
[mm] E(X)-\partial
das ganze führt dann zu (wieder der Fall aus der p-q-Formel  )
[mm] \bruch{(n+1)}{2}-\wurzel{\bruch{(n^2-1)}{12})}
und damit zum Fall [mm] \bruch{(n+1)}{2}-\wurzel{\bruch{(n^2-1)}{12})}
Ich weiß leider immer noch nicht, wie ich mit dem X umgehen soll, respektive wie ich mit deiner Hilfestellung zu arbeiten habe.....
Tausend Dank bis hierher!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 So 07.03.2010 | | Autor: | luis52 |
Du stehst kurz vor der Loesung:
[mm] $P\left(\bruch{(n+1)}{2}-\wurzel{\bruch{(n^2-1)}{12}}
Bedenke: [mm] $P(X\le x)=\frac{x}{n}$ [/mm] fuer [mm] $x=1,\dots,n$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 So 07.03.2010 | | Autor: | jaktens |
Sorry, ich sehe leider die Zusammenhänge nicht.
$ [mm] P\left(\bruch{(n+1)}{2}-\wurzel{\bruch{(n^2-1)}{12}}
Warum ist dieser Ausdruck in der Klammer [mm] \approx\frac{2}{n}\wurzel{\bruch{(n^2-1)}{12}} [/mm]
und wie bringe ich $ [mm] P(X\le x)=\frac{x}{n} [/mm] $ mit ins Spiel???
Wenn [mm] \approx\frac{2}{n}\wurzel{\bruch{(n^2-1)}{12}} [/mm] die gesuchte Folge ist, müsste der Grenzwert [mm] \wurzel{\bruch{1}{3}} [/mm] sein
Ich setz einfach mal:
[mm] X\le\frac{2}{n}\wurzel{\bruch{(n^2-1)}{12}} [/mm] /( [mm] \le )^2
[/mm]
[mm] X^2\le\frac{4}{n^2}*\bruch{(n^2-1)}{12}
[/mm]
[mm] X^2\le\bruch{4n^2-4}{12n^2} [/mm] ( [mm] \le )^\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] X\le\wurzel{\bruch{1}{3}*\bruch{n^2-1}{n^2}}
[/mm]
Jetzt betrachte ich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2-1}{n^2}
[/mm]
und komme auf
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2-1}{n^2}\to1
[/mm]
und damit ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{n}\wurzel{\bruch{(n^2-1)}{12}}\to\wurzel{\bruch{1}{3}}
[/mm]
Ich hänge halt leider an der Umformung.....dein rechter Ausdruck war bestimmt die gesuchte Folge, oder??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Mo 08.03.2010 | | Autor: | jaktens |
Ich hab meinen Knackpunkt gestern Abend noch gefunden.
Nochmal tausend Dank für eure Hilfe!!!!
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
