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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Newbie89 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie sämtliche reelen Lösungen x dieser Ungleichung:
[mm] \wurzel{8-\vmat{2x}} \ge [/mm] 3-x |
Ich habe bereits die Lösungsmenge auf [-4,4] eingeschränkt, habe aber Probleme die Gleichung weiter auf 3-x anzuwenden.
Mein Lösungsweg:
1. Bedingung [mm] \wurzel{8-\vmat{2x}} \ge [/mm] 0
1.Fall: x<0
[mm] \wurzel{8 + 2x} \ge [/mm] 0
[mm] \gdw [/mm] 8+2x [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \gdw [/mm] 2x [mm] \ge [/mm] -8
x [mm] \in [/mm] [-4, [mm] \infty]
[/mm]
2. Fall: x [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \wurzel{8-2x} \ge [/mm] 0
8 - 2x [mm] \ge [/mm] 0
8 [mm] \ge [/mm] 2x
x [mm] \in [/mm] [0,4]
Der Durchschnitt beider Mengen ist dann: x [mm] \in [/mm] [-4,4]
Und wie kann ich das weiterverfolgen mit dem Term 3-x?
Gruß Fabian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Mi 06.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ermitteln Sie sämtliche reelen Lösungen x dieser
> Ungleichung:
>
> [mm]\wurzel{8-\vmat{2x}} \ge[/mm] 3-x
> Ich habe bereits die Lösungsmenge auf [-4,4]
> eingeschränkt, habe aber Probleme die Gleichung weiter auf
> 3-x anzuwenden.
>
Die Einschränkung auf [-4;4] ist okay.
[mm] \wurzel{8-\vmat{2x}}\ge3-x
[/mm]
Jetzt Quadriere mal beide Seiten.
Dann ergibt sich:
[mm] \left(\wurzel{8-\vmat{2x}}\right)^{2}\ge(3-x)^{2}
[/mm]
Die Lösungsmenge [mm] \IL [/mm] dieser Ungleichung bestimme jetzt mal:
Also Fall 1: [mm] 0>x\ge-4:
[/mm]
[mm] 8-|2x|\ge(3-x)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw 8+2x\ge9-6x+x²
[/mm]
Fall 2: [mm] 0\le x\le4:
[/mm]
[mm] 8-|2x|\ge(3-x)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw 8-2x\ge9-6x+x²
[/mm]
Jetzt bist du erstmal wieder dran.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Newbie89 |
Vielen Dank Euch beiden. Nun bin ich auch schon etwas klarer im Kopf =)!
Nun habe die Brechnung fortgeführt:
1.Fall: 0 > x [mm] \ge [/mm] 4
8-2x [mm] \ge 9-6x+x^{2}
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}-4x+1 [/mm] < 0
p-q-Formel ergibt:
[mm] x_{1}= [/mm] 2 + [mm] \wurzel{3}
[/mm]
[mm] x_{2}= [/mm] 2 - [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Also x [mm] \in [2+\wurzel{3},2-\wurzel{3}] [/mm] ?
Fall 2: -4 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0
8+2x [mm] \ge 9-6x+x^{2}
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}-8x+1 \ge [/mm] 0
[mm] x_{3}= [/mm] 4+ [mm] \wurzel{15}
[/mm]
[mm] x_{4}= [/mm] 4- [mm] \wurzel{15}
[/mm]
Diese Lösungen sind aber > 0 und somit ausgeschlossen?!
Also kommt für die gesamte Ungleichung die Lösungsmenge [mm] \IL= [2+\wurzel{3},2-\wurzel{3}] [/mm] heraus???
Ich dachte, dass Quadrieren geht hier nicht so toll, wegen der Äquivalenzumformung? Kannst Du mir das an diesem Beispiel kurz begründen, warum das doch so geht?
Gruß Fabi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Mi 06.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn beide Seiten einer Ungleichung pos sind darf man umformen, da das Quadrieren
dann ne monotone steigende fkt ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Newbie89 |
Gut, danke für die Info!
Also stimmt meine Berechnung auch?
Mir ist noch unklar, was hier rauskommt:
z.B. x - [mm] \vmat{x} [/mm]
wenn x [mm] \ge [/mm] 0 sein soll, kommt doch raus: x-x?
wenn x < 0 sein soll, kommt doch raus: x+x?
Gruß Fabi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mi 06.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Gut, danke für die Info!
>
> Also stimmt meine Berechnung auch?
>
> Mir ist noch unklar, was hier rauskommt:
>
> z.B. x - [mm]\vmat{x}[/mm]
>
> wenn x [mm]\ge[/mm] 0 sein soll, kommt doch raus: x-x?
>
> wenn x < 0 sein soll, kommt doch raus: x+x?
>
> Gruß Fabi
Beides Korrekt, jetzt noch zusammenfassen.
x [mm] \ge [/mm] 0 Also wird x-|x|=x-x=0
Und x < 0; x-|x|=x-(-x)=x+x=2x
Marius
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Mit Ungleichungen, Absolutwerten und Wurzeln ist das so eine Sache. Da kommt man schnell ins Schleudern.
Mit "verbundenen Händen" könnte ich das auch nicht lösen. Aber wenn man die Hände frei hat, dann geht es recht leicht:
Zeichne die Graphen der Funktionen
[mm]f(x)=\wurzel{8-\vmat{2x}[/mm] und [mm]g(x)=3-x[/mm]
ein ein Koordinatensystem.
Dann erkennst du, wo die kritischen Stellen liegen und für welche x-Werte die Ungleichung erfüllt ist bzw. welchen Wert man (per Gleichung) errechnen muss.
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