Ungleichung! < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Di 05.02.2008 | | Autor: | Luke1986 |
| Aufgabe | für welche x e R ist
[mm] f(x) = ln\left| x^2 + 2x - 3 \right| - ln\left| \bruch{x^2 + 4x + 3}{x - 2} \right| [/mm]
definiert und nicht negativ? |
es gilt für die ungleichnung:
[mm] \left| x^2 + 2x - 3 \right| \ge \left| \bruch{x^2 + 4x + 3}{x - 2} \right| [/mm]
nun komm ich mit der fallunterscheidung nciht ganz klar!
vielen dank schonmal für eure hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Di 05.02.2008 | | Autor: | abakus |
> für welche x e R ist
> [mm]f(x) = ln\left| x^2 + 2x - 3 \right| - ln\left| \bruch{x^2 + 4x + 3}{x - 2} \right| [/mm]
>
> definiert und nicht negativ?
> es gilt für die ungleichnung:
>
> [mm]\left| x^2 + 2x - 3 \right| \ge \left| \bruch{x^2 + 4x + 3}{x - 2} \right|[/mm]
> nun komm ich mit der fallunterscheidung nciht ganz klar!
>
> vielen dank schonmal für eure hilfe
Definiert die die Logarithusfunktion nur für positive Argumente, und Brüche sind nur definiert für Nenner [mm] \ne [/mm] 0.
[mm] y=x^2+2x-3 [/mm] hat zwei Nullstellen (welche?) und ist dazwischen negativ --> ln dort nicht definiert.
[mm] y=x^2+4x+3 [/mm] hat auch Nullstellen (-1 und -3) und ist dazwischen negativ. Allerdings ist der Nenner für x<2 auch negativ, sodass der gesamte Bruch gerade zwischen -1 und -3 positiv ist. Außerdem ist der Bruch positiv, wenn Zähler und Nenner positiv sind. Das betrifft alle x, die sowohl größer als zwei als auch größer als -1 sind (also die größer als 2 sind).
Fasse erst mal das alles für den Definitionsbereich der Gesamtfunktion zusammen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Di 05.02.2008 | | Autor: | Luke1986 |
das mit dem es gilt für die ungleichung steht nciht in der aufgabe 
also das ist mir schon klar was du sagst hab ich ja auch getan!
allerdings geht es darum, welchen fall ich nun zuerst betrachte bzw. wie viele fälle ich betrachten muss bzw. in welcher kombination ich die fälle betrachten muss, damit es nich zu viele werden
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Di 05.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Luke!
In deisem Fall kannst du schnell die antzahl der Fälle reduzieren, wenn Du erst faktorisierst und kürzt:
$$f(x) \ = \ [mm] \ln\left| x^2 + 2x - 3 \right| [/mm] - [mm] \ln\left| \bruch{x^2 + 4x + 3}{x - 2} \right| [/mm] \ = \ [mm] \ln\left| \red{(x+3)*(x-1)} \right| [/mm] - [mm] \ln\left| \bruch{\blue{(x+3)*(x+1)}}{\blue{x - 2}} \right| [/mm] \ = \ [mm] \ln\left|\bruch{\red{(x+3)*(x-1)}*\blue{(x-2)}}{\blue{(x+3)*(x+1)}}\right| [/mm] \ = \ [mm] \ln\left|\bruch{(x-1)*(x-2)}{x+1}\right|$$
[/mm]
Damit verbleibt als zu lösende Ungleichung:
[mm] $$\bruch{(x-1)*(x-2)}{x+1} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1$$
Gruß
Loddar
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