Ungleichung < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Sa 28.04.2007 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Sei [mm] \mu(E)=1 [/mm] und seien f,g zwei nicht-negatice messbare Funktionen auf E, für welche gilt [mm] fg\ge1.
[/mm]
Zeigen sie, dass gilt
[mm] \integral_{E}^{}{f d\mu} *\integral_{E}^{}{g d\mu}\ge1 [/mm] |
Hallo!
Leider sehe ich auch hier kein Land in Sicht... Ich habe mit überlegt, dass womöglich die Minkowski-Ungleichung nützlich ist, aber wie nur? Kann mir vielleicht einer weiterhelfen?
Vielen Dank,
papillon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 Sa 28.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei [mm]\mu(E)=1[/mm] und seien f,g zwei nicht-negatice messbare
> Funktionen auf E, für welche gilt [mm]fg\ge1.[/mm]
>
> Zeigen sie, dass gilt
>
> [mm]\integral_{E}^{}{f d\mu} *\integral_{E}^{}{g d\mu}\ge1[/mm]
>
> Hallo!
>
> Leider sehe ich auch hier kein Land in Sicht... Ich habe
> mit überlegt, dass womöglich die Minkowski-Ungleichung
> nützlich ist, aber wie nur? Kann mir vielleicht einer
> weiterhelfen?
Ich haette jetzt eher auf die Hoeldersche Ungleichung getippt, allerdings ist mir gerade (nach Klicken auf `Antworten') aufgefallen, dass man dann [mm] $\int_E f^2 \; d\mu \cdot \int_E g^2 \; d\mu \ge [/mm] 1$ bekommt und nicht die Aussage ohne die Quadrate...
Aber vielleicht hilft dir das trotzdem weiter?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Sa 28.04.2007 | | Autor: | papillon |
Danke erst mal, für beide beiträge. Ja, ich hatte natürlich auch an die Höldersche ungleichung gedacht. werde da mal weiterprobieren...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Sa 28.04.2007 | | Autor: | papillon |
Woher kommen denn die Quadrate? Kann ich vielleicht so argumentieren:
[mm] \parallelf*g\parallel [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{|f*g| d\mu} \ge \integral_{}^{}{|f| d\mu}*\integral_{}^{}{|g| d\mu}
[/mm]
und da [mm] f*g\ge1 [/mm] ist doch auch [mm] \integral_{}^{}{|f*g| d\mu}\ge1 [/mm] , richtig?
und nach der Hölderschen Ungleichung dürfte dann wohl auch [mm] \integral_{}^{}{|f| d\mu}*\integral_{}^{}{|g| d\mu}\ge1 [/mm] sein, q.e.d.
Ist das so richtig, oder mache ich mir es zu einfach? Wie sieht das mit den Voraussetzungen für die H.Ungleichung aus?
papillon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Sa 28.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo papillon,
> Woher kommen denn die Quadrate? Kann ich vielleicht so
> argumentieren:
>
> [mm]\parallel f*g\parallel[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{|f*g| d\mu} \ge \integral_{}^{}{|f| d\mu}*\integral_{}^{}{|g| d\mu}[/mm]
das musst du erst noch zeigen (und du meinst sicher [mm] $\le$ [/mm] und nicht [mm] $\ge$)! [/mm] Nach der Hoelderschen Ungleichung gilt [mm]\integral_{}^{}{|f*g| d\mu} \le \sqrt{\integral_{}^{}{|f|^2 d\mu}}*\sqrt{\integral_{}^{}{|g|^2 d\mu}}[/mm]
>
> und da [mm]f*g\ge1[/mm] ist doch auch [mm]\integral_{}^{}{|f*g| d\mu}\ge1[/mm]
> , richtig?
>
> und nach der Hölderschen Ungleichung dürfte dann wohl auch
> [mm]\integral_{}^{}{|f| d\mu}*\integral_{}^{}{|g| d\mu}\ge1[/mm]
> sein, q.e.d.
Der Rest ist richtig und auch genau das, was man weiter machen muss :)
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Sa 28.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]\mu(E)=1[/mm] und seien f,g zwei nicht-negatice messbare
> Funktionen auf E, für welche gilt [mm]fg\ge1.[/mm]
>
> Zeigen sie, dass gilt
>
> [mm]\integral_{E}^{}{f d\mu} *\integral_{E}^{}{g d\mu}\ge1[/mm]
>
> Hallo!
>
> Leider sehe ich auch hier kein Land in Sicht... Ich habe
> mit überlegt, dass womöglich die Minkowski-Ungleichung
> nützlich ist, aber wie nur? Kann mir vielleicht einer
> weiterhelfen?
So, jetzt hab ich's glaube ich :)
Und zwar wendest du die Hoeldersche Ungleichung auf [mm] $\sqrt{f}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{g}$ [/mm] an: diese Funktionen sind ebenfalls messbar und erfuellen ebenfalls die Voraussetzung...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Sa 28.04.2007 | | Autor: | papillon |
Jetzt bin ich irgendwie doch wieder durcheinander gekommen...
Ich argumentiere also so:
1. Ich betrachte [mm] \wurzel{f} [/mm] und [mm] \wurzel{g}, [/mm] deren Produkt ist größer gleich 1, wie sich leicht zeigen lässt.
2. Es gilt: [mm] \integral_{}^{}{|\wurzel{fg}| d\mu} \le [/mm] ???
Kanns du mir da nochmal den Verlauf der Argumenation erläutern?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Sa 28.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Jetzt bin ich irgendwie doch wieder durcheinander
> gekommen...
>
> Ich argumentiere also so:
>
> 1. Ich betrachte [mm]\wurzel{f}[/mm] und [mm]\wurzel{g},[/mm] deren Produkt
> ist größer gleich 1, wie sich leicht zeigen lässt.
>
> 2. Es gilt: [mm]\integral_{}^{}{|\wurzel{fg}| d\mu} \le[/mm] ???
Nach Hoelder gilt: [mm] $\int_E |\sqrt{f} \sqrt{g}| \;d\mu \le \sqrt{\int_E |\sqrt{f}|^2 \;d\mu} \cdot \sqrt{\int_E |\sqrt{g}|^2 \;d\mu}$ [/mm] (mit $p = q = 2$ und den Funktionen [mm] $\sqrt{f}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{g}$). [/mm] Das linke Integral ist nun [mm] $\ge [/mm] 1$, da der Integrand [mm] $\ge [/mm] 1$ ist und [mm] $\mu(E) [/mm] = 1$ ist. Wenn man die entstehende Ungleichung quadriert das [mm] $|\sqrt{f}|^2$ [/mm] zu $f$ und das gleiche fuer $g$ umschreibt, hat man die gesuchte Ungleichung.
LG Felix
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