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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Fr 25.11.2005 | | Autor: | Kuebi |
Hallo Ihr!
Ich soll folgende Ungleichung beweisen:
[mm] \bruch{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n} [/mm] * [mm] \bruch{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}{n} \le \bruch{a_{1}*b_{1}+a_{2}*b_{1}+...+a_{n}*b_{n}}{n} [/mm] (sei (1))
für [mm] a_{1} \le a_{2} \le [/mm] ... [mm] \le a_{n} [/mm] und [mm] b_{1} \le b_{2} \le [/mm] ... [mm] \le b_{n}.
[/mm]
Dazu soll folgendes betrachtet werden:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n}(a_{i}-a_{k})*(b_{i}-b_{k}) [/mm] (sei (2))
Ich habe nun die zu zeigende Ungleichung (1) auf diese Form gebracht:
[mm] \bruch{1}{n}* \summe_{i=1}^{n}(a_{i}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{n}* \summe_{i=1}^{n}(b_{i}) \le \bruch{1}{n}* \summe_{i=1}^{n}(a_{i}*b_{i}).
[/mm]
Die zu betrachtende Gleichung (2) ist ja immer [mm] \ge [/mm] 0, da im Falle i < k ja [mm] (a_{i}-a_{k})*(b_{i}-b_{k}) \ge [/mm] 0 und im Falle i [mm] \ge [/mm] k ja [mm] (a_{i}-a_{k})*(b_{i}-b_{k}) [/mm] ebenfalls positiv ist.
Jetzt muss ich die zu betrachtende Gleichung (2) ja nur noch auf eine Form bringen, die (1) entspricht. Aber wie mach ich das?
Kann das so funktionieren ...
[mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n}(a_{i}-a_{k})*(b_{i}-b_{k}) [/mm] (sei (2))
[mm] \Leftrightarrow \summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n}(a_{i}*b_{i}-a_{i}*b_{k}-a_{k}*b_{i}+a_{k}*b_{k})
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n}(a_{i}*b_{i})-\summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n}(a_{i}*b_{k})-\summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n}(a_{k}*b_{i})+\summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n}(a_{k}*b_{k}). [/mm] (sei (3))
Kann ich jetzt sagen der erste und vierte Summand sowiue der zweite und dritte Summand von (3) sind gleich, folglich vereinfacht sich die Gleichung?
Und was kann ich mit Summand 1 und 4 anstellen, die zwar eine Summe von k=1 bis n haben aber keinen Index n mehr?
Hoffe da behält jemand den Druchblick! 
Viele Grüße, Kübi
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> Hallo Ihr!
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> Ich soll folgende Ungleichung beweisen:
>
> [mm]\bruch{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}[/mm] *
> [mm]\bruch{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}{n} \le \bruch{a_{1}*b_{1}+a_{2}*b_{1}+...+a_{n}*b_{n}}{n}[/mm]
> (sei (1))
>
> für [mm]a_{1} \le a_{2} \le[/mm] ... [mm]\le a_{n}[/mm] und [mm]b_{1} \le b_{2} \le[/mm]
> ... [mm]\le b_{n}.[/mm]
>
> Dazu soll folgendes betrachtet werden:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n}(a_{i}-a_{k})*(b_{i}-b_{k})[/mm]
> (sei (2))
>
> Ich habe nun die zu zeigende Ungleichung (1) auf diese Form
> gebracht:
>
> [mm]\bruch{1}{n}* \summe_{i=1}^{n}(a_{i})[/mm] * [mm]\bruch{1}{n}* \summe_{i=1}^{n}(b_{i}) \le \bruch{1}{n}* \summe_{i=1}^{n}(a_{i}*b_{i}).[/mm]
>
> Die zu betrachtende Gleichung (2) ist ja immer [mm]\ge[/mm] 0, da im
> Falle i < k ja [mm](a_{i}-a_{k})*(b_{i}-b_{k}) \ge[/mm] 0 und im
> Falle i [mm]\ge[/mm] k ja [mm](a_{i}-a_{k})*(b_{i}-b_{k})[/mm] ebenfalls
> positiv ist.
>
> Jetzt muss ich die zu betrachtende Gleichung (2) ja nur
> noch auf eine Form bringen, die (1) entspricht. Aber wie
> mach ich das?
>
> Kann das so funktionieren ...
Hallo,
das wird sehr gut funktionieren.
>
>0 [mm] \le[/mm] [mm]\summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n}(a_{i}-a_{k})*(b_{i}-b_{k})[/mm]
>
> [mm]= \summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n}(a_{i}*b_{i}-a_{i}*b_{k}-a_{k}*b_{i}+a_{k}*b_{k})[/mm]
>
> [mm]= \summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n}(a_{i}*b_{i})-\summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n}(a_{i}*b_{k})-\summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n}(a_{k}*b_{i})+\summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n}(a_{k}*b_{k}).[/mm]
[mm]= \summe_{i=1}^{n} n(a_{i}*b_{i})-2\summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n}(a_{i}*b_{k})+n\summe_{k=1}^{n}(a_{k}*b_{k}).[/mm]
[mm]= 2n\summe_{i=1}^{n} (a_{i}*b_{i})-2\summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n}(a_{i}*b_{k}) [/mm]
[mm]= 2n\summe_{i=1}^{n} (a_{i}*b_{i})-2(\summe_{i=1}^{n} a_i)(\summe_{k=1}^{n}b_{k}) [/mm]
und nun hast Du's im Prinzip.
Noch zu Deiner Frage: [mm] \summe_{i=1}^{n}c_k=c_k \summe_{i=1}^{n}1=c_k*n
[/mm]
Gruß v. Angela
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