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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 So 19.10.2014 | | Autor: | arraneo |
Hallo,
meine Aufgabe lautet: Beweisen Sie für alle [mm] x,y\in \mathbb{R} [/mm] die folgenge Ungleichung:
i). [mm] \Big| \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \Big| \ge [/mm] 2, x,y [mm] \neq [/mm] 0 .
Hätte jemanden da eine Idee?
Ich habe schon versucht, das auf dem gemeinsamem Nenner zu bringen, sprich:
[mm] \Rightarrow \Big|\frac{x^2+y^2}{xy}\Big| \ge [/mm] 2 ,
komme aber leider nicht weiter, selbst wenn ich da oben [mm] (x+y)^2-2xy [/mm] schaffe ich bekomme dieses 2 aus dem Bruch nicht heraus.
Vielen Dank für die Hilfe !!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 So 19.10.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo arraneo!
> Hallo,
>
> meine Aufgabe lautet: Beweisen Sie für alle [mm]x,y\in \mathbb{R}[/mm]
> die folgenge Ungleichung:
>
> i). [mm]\Big| \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \Big| \ge[/mm] 2, x,y [mm]\neq[/mm] 0
> .
>
> Hätte jemanden da eine Idee?
Versuch mal die Substitution [mm]u:=\frac xy[/mm] und untersuche die Fälle $u>0$ und $u<0$ separat.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 So 19.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> meine Aufgabe lautet: Beweisen Sie für alle [mm]x,y\in \mathbb{R}[/mm]
> die folgenge Ungleichung:
>
> i). [mm]\Big| \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \Big| \ge[/mm] 2, x,y [mm]\neq[/mm] 0
> .
>
> Hätte jemanden da eine Idee?
>
> Ich habe schon versucht, das auf dem gemeinsamem Nenner zu
> bringen, sprich:
>
> [mm]\Rightarrow \Big|\frac{x^2+y^2}{xy}\Big| \ge[/mm] 2 ,
beachte, dass Dir "aus der Behauptung folgt ..." nichts bringt, Du brauchst
ja die Richtung [mm] $\Leftarrow$, [/mm] siehe auch
meinen Artikel dazu.
Das Schöne ist aber, dass Du [mm] $\Rightarrow$ [/mm] durch [mm] $\gdw$ [/mm] ersetzen kannst, so
dass [mm] $\Leftarrow$ [/mm] auch inbegriffen ist.
Also
[mm] $\left|\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right|$ $\ge$ $2\,$
[/mm]
[mm] $\iff$ $\left|\frac{x^2+y^2}{xy}\right|$ $\ge$ $2\,$
[/mm]
Weiter geht's
[mm] $\iff$ $|x^2+y^2|$ $\ge$ $2*|xy|\,.$
[/mm]
Letzte Ungleichung läßt sich aber leicht herleiten:
Beachte
[mm] $|x^2+y^2|=x^2+y^2,$ $|x|^2=x^2,$ $|y|^2=y^2$ [/mm]
und dass offensichtlich
[mm] $(|x|-|y|)^2 \ge [/mm] 0$
wahr ist.
Am schönsten schreibst Du am Ende den Beweis dann so auf: Offensichtlich
gilt
[mm] $(|x|-|y|)^2 \ge 0\,.$
[/mm]
Daraus folgt ... und schlussendlich ..., was zu zeigen war.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 So 19.10.2014 | | Autor: | arraneo |
Vielen vielen Dank !!
du bist ja immer so extrem hilfreich ! :)
aalso,
Offensichtlich gilt: [mm] (|x|-|y|)^2\ge [/mm] 0
[mm] \iff |x|^2-2|xy|+|y|^2\ge [/mm] 0 [mm] [\because [/mm] |ab|=|a||b|]
[mm] \iff |x|^2+|y|^2\ge [/mm] 2|xy|
[mm] \iff \frac{|x|^2+|y|^2}{|xy|}\ge [/mm] 2 [mm] [\because [/mm] Vorraus. [mm] x,y\neq [/mm] 0]
[mm] \iff \Big| \frac{x^2+y^2}{xy}\Big| \ge [/mm] 2 [ [mm] \because \frac{|a|}{|b|}=\big| \frac{a}{b} \big| [/mm] ]
[mm] \iff\Big| \frac{x}{y}+\{y}{x}\Big| \ge [/mm] 2 . [mm] \Box [/mm]
stimmt das ?
:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 So 19.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen vielen Dank !!
>
> du bist ja immer so extrem hilfreich ! :)
>
> aalso,
>
> Offensichtlich gilt: [mm](|x|-|y|)^2\ge[/mm] 0
>
> [mm]\iff |x|^2-2|xy|+|y|^2\ge[/mm] 0 [mm][\because[/mm] |ab|=|a||b|]
Du brauchst aber [mm] $|ab|=|a|\,|b|$ [/mm] hier gar nicht?!
> [mm]\iff |x|^2+|y|^2\ge[/mm] 2|xy|
>
> [mm]\iff \frac{|x|^2+|y|^2}{|xy|}\ge[/mm] 2 [mm][\because[/mm] Vorraus. [mm]x,y\neq[/mm] 0]
Wichtiger ist hier, dass Du $|xy| > [mm] 0\,$ [/mm] hast - das begründet sich natürlich mit
$x,y [mm] \neq 0\,,$ [/mm] weil $|r| [mm] \ge [/mm] 0$ und wenn $r [mm] \neq [/mm] 0$ ist, dann ist $|r| > [mm] 0\,.$
[/mm]
> [mm]\iff \Big| \frac{x^2+y^2}{xy}\Big| \ge[/mm] 2 [ [mm]\because \frac{|a|}{|b|}=\big| \frac{a}{b} \big|[/mm]
> ]
>
> [mm]\iff\Big| \frac{x}{y}+\{y}{x}\Big| \ge[/mm] 2 . [mm]\Box[/mm]
Da fehlt wohl irgendwo das "frac" im Code.
>
> stimmt das ?
Ja, aber am Ende kannst Du dann auch noch dazuschreiben, welche
Bruchrechenregel Du angewendet hast.  [Muss nicht wirklich sein...]
> :)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 So 19.10.2014 | | Autor: | arraneo |
haha, ja stimmt! danke !
es gäben noch die ii) , bzw. iii)
die lauten:
ii) |x+y| +|x-y| [mm] \ge [/mm] |x|+|y| ,
wo aus der Dreiecksungleichung folgt :
|x+y| [mm] +|x-y|\ge [/mm] |x|-|y| + [mm] \Big| [/mm] |x|-|y| [mm] \Big| [/mm] ... was aber nirgendswo führt.. :(
und bei Fallunterscheidung kriege ich 2|x| , oder 0 , welche nicht größer als |x|+|y| sein können, daher bin ich total verloren..
hättest du bitte eine alternative Idee?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 So 19.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> haha, ja stimmt! danke !
>
> es gäben noch die ii) , bzw. iii)
>
> die lauten:
> ii) |x+y| +|x-y| [mm]\ge[/mm] |x|+|y| ,
>
> wo aus der Dreiecksungleichung folgt :
>
> |x+y| [mm]+|x-y|\ge[/mm] |x|-|y| + [mm]\Big|[/mm] |x|-|y| [mm]\Big|[/mm] ... was aber
> nirgendswo führt.. :(
>
> und bei Fallunterscheidung kriege ich 2|x| , oder 0 ,
> welche nicht größer als |x|+|y| sein können, daher bin
> ich total verloren..
>
> hättest du bitte eine alternative Idee?
ja, wenn alle Stricke reißen, liegt eine Fallunterscheidung nahe:
1. Fall: Sei sowohl $x+y [mm] \ge [/mm] 0$ als auch $x-y [mm] \ge 0\,,$ [/mm] also
$x [mm] \ge |y|\,.$
[/mm]
Dann ist ii) gleichwertig zu
$x+y+x-y [mm] \ge [/mm] |x|+|y|$
[mm] $\iff$ [/mm] $2x [mm] \ge |x|+|y|\,.$
[/mm]
Wegen $x [mm] \ge [/mm] |y|$ und $|y| [mm] \ge [/mm] 0$ folgt...
In diesem Fall ist also...?
2. Fall: Sei $x+y [mm] \ge [/mm] 0$ und $x-y [mm] \le 0\,,$ [/mm] also
$-y [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] y,$ was nur für $y [mm] \ge [/mm] 0$ sinnvoll ist.
Dann ist ii) gleichwertig zu
$(x+y)-(x-y) [mm] \ge |x|+|y|\,,$
[/mm]
was gleichwertig zu
$2y [mm] \ge [/mm] |x|+|y|$
ist, was wegen $y [mm] \ge [/mm] 0$ gleichwertig zu
$y [mm] \ge [/mm] |x|$
ist. Warum gilt nun $y [mm] \ge [/mm] |x|$?
3. Fall: Annahme von $x+y [mm] \le [/mm] 0$ und $x-y [mm] \ge [/mm] 0$ bzw. gleichwertig dazu
$y [mm] \le [/mm] x [mm] \le -y\,,$
[/mm]
was nur für $y [mm] \le [/mm] 0$ sinnvoll ist...
Zeige, dass in diesem Fall die zu beweisende Ungleichung gleichwertig zu
$|x| [mm] \le [/mm] -y$
ist, und dann schau nochmal in die obige Voraussetzung, warum das gilt.
4. Fall: $x+y [mm] \le [/mm] 0$ und $x-y [mm] \le 0\,,$ [/mm] also gleichwertig dazu
$x [mm] \le [/mm] y [mm] \le -x\,.$
[/mm]
Diese Fall ist nur für $x [mm] \le [/mm] 0$ existent, und dann ist die zu beweisende
Ungleichung gleichwertig mit
[mm] $|y|\le [/mm] -x$
...
Gruß,
Marcel
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