Ungl. Beweis zulässig/logisch? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Sa 05.11.2011 | | Autor: | MiKeMaX |
| Aufgabe | Beweise:
[mm] x^{4} [/mm] + [mm] y^{4} [/mm] + 2 [mm] \ge x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm]
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR [/mm] |
Meine Lösung:
Beweis:
Es gilt [mm] x^{2}+x^{2}+2 \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR, [/mm] da [mm] x^{2} \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] und [mm] y^{2} \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] y [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + 2 [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \gdw x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + 2 + [mm] x^{2} \ge x^{2}
[/mm]
[mm] \gdw x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + 2 + [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} \ge x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}
[/mm]
[mm] \gdw x^{4} [/mm] + [mm] y^{4} [/mm] + 2 [mm] \ge x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} \Rightarrow [/mm] Beh. [mm] \Box
[/mm]
EDIT: Mittlerweile habe ich den peinlichen Fehler erkannt. Aber neue Frage weiter unten!
Ist dieser Schluss logisch und für einen Beweis ausreichen? Ich fand den im Gegensatz zu den restlichen, die ich machen sollte, etwas zu "leicht" und hab das Gefühl, dass der Schluss nicht reicht oder ich nicht beachtet habe, dass man immer aus etwas Bekanntem zu dem beweisenden schließen soll, wobei ich finde ja schon...
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Sa 05.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo MiKeMaX,
> Es gilt [mm]x^{2}+x^{2}+2 \ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \IR,[/mm] da [mm]x^{2} \ge[/mm]
> 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR[/mm] und [mm]y^{2} \ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] y [mm]\in \IR[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] + 2 [mm]\ge[/mm] 0
> [mm]\gdw x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] + 2 + [mm]x^{2} \ge x^{2}[/mm]
> [mm]\gdw x^{2}[/mm] +
> [mm]y^{2}[/mm] + 2 + [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2} \ge x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm]
> [mm]\gdw x^{4}[/mm] + [mm]y^{4}[/mm] + 2 [mm]\ge x^{2}[/mm] + [mm]y^{2} \Rightarrow[/mm] Beh.
> [mm]\Box[/mm]
Die Umformung zur letzten Zeile stimmt nicht. Es ist im Allgemeinen [mm] $x^2+x^2\not=x^4$ [/mm] und [mm] $y^2+y^2\not=y^4$.
[/mm]
Zeige [mm] $x^4+1\geq x^2$. [/mm] Dann folgt genauso [mm] $y^4+1\geq y^2$ [/mm] und zusammen die Behauptung.
Um [mm] $x^4+1\geq x^2$ [/mm] zu zeigen, unterscheide die Fälle [mm] $|x|\geq1$ [/mm] und $|x|<1$.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Sa 05.11.2011 | | Autor: | MiKeMaX |
Oh Gott, was mach ich denn!!!
Ich sollte mal ne Pause einlegen, dann passiert sowas wie x + x = [mm] x^{2} [/mm] nicht mehr! Sorry..
Ich versuchs nochmal! :) Melde mich zur Not, aber danke! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 So 06.11.2011 | | Autor: | MiKeMaX |
Also ich habe mal nachgedacht.
An sich ist mir klar, was ich zeigen muss. Im Prinzip wird ja für |x| < 1 mit [mm] k=x^{n} [/mm] für umso größere n der gesamte Ausdruck kleiner, bleibt aber immer 0<k<1. Für |x| > 1 wird es immer größer.
Aber ich weiß nicht wie ich das Zeigen soll. Es reicht ja nicht aus, dass man einfach sagt, dass das "klar" ist. Weil dann wäre gezeigt, dass bei |x| > 1 bei höherem Exponenten sofort der Ausdruck größer wird, also übersteigt [mm] x^{4} [/mm] das [mm] x^{2} [/mm] und bei |x| < 1 weiß man dann, dass das immer eine Zahl <=1 ist und dementsprechend würde dann die einzelne 1 auf der linken Seite dominieren.
Könnt ihr mir vielleicht bei dem Ansatz auf die Sprünge helfen, wie man das mathematisch zeigt?
Beweise sind für mich als Erstsemester noch etwas Neuland!
Grüße
PS: Irgendwie erscheint ein zweiter Thread hier im Forum - mit selbem Titel. Das war keine Absicht und der könnte gelöscht werden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 So 06.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Alle Ideen hast du schon korrekt genannt!
Mein Vorschlag zum Fall [mm] $|x|\geq [/mm] 1$ wäre folgende Ungleichungskette:
[mm] $x^2=x^2\cdot 1\leq x^2\cdot |x|=x^2\cdot |x|\cdot 1\leq x^2\cdot |x|\cdot |x|=x^2\cdot |x|^2=x^2\cdot x^2=x^4\leq x^4+1$.
[/mm]
Hast du eine Idee für eine ähnliche Ungleichungskette im Fall $|x|<1$?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 So 06.11.2011 | | Autor: | MiKeMaX |
Eine geniale Lösung deinerseits! :)
Ich hoffe meins passt auch ein wenig... kann natürlich auch wieder ne Blamage werden! :D Also:
[mm] x^{2} [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] * 1 [mm] \ge x^{2} [/mm] * |x| = [mm] x^{2} [/mm] * |x| * 1 [mm] \ge x^{2} [/mm] * |x| * |x| = [mm] x^{2} [/mm] * [mm] x^{2} [/mm] = [mm] x^{4} \le x^{4}+1
[/mm]
Also ich hab das genauso aufgebaut und abgeschätzt, da das ja mit jeder Multiplikation noch ein wenig kleiner wird. Dann am Ende jedoch mit den + 1 wiederum größer.
Ich weiß aber nicht, ob man einfach in so einer Ungleichungskette zwischendurch die "Richtung" ändern darf?
Grüße
Edit: Irgendwie bekomme ich immer mehr das Gefühl, dass das keinen Sinn ergibt. Das wär dann so wie a > b und b < c dann kann man ja nicht sagen a < c weil es könnte ja auch a > c sein. Beispiel: 8 > 3 und 3 < 5 aber es ist nicht 8 < 5! :(
So viel ich überlege, nach dem Schema ist immer irgendwo ein Richtungswechsel drin! :-/ Auch wenn ich das "von hinten" abschätze, sobald ich einen x-Faktor rausnehme, wird der Ausdruck danach sofort größer! :-/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 So 06.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Du hast zu deinem Lösungsversuch schon alles gesagt, warum er nicht funktioniert.
Deine richtige Idee im Fall $|x|<1$ war ja, [mm] $x^2$ [/mm] durch $1$ abzuschätzen, nicht durch [mm] $x^4$ [/mm] wie in deinem Lösungsversuch.
Es gilt [mm] $x^2=|x|^2=|x|\cdot|x|\leq |x|\cdot 1\leq\ldots$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 So 06.11.2011 | | Autor: | MiKeMaX |
Achso ja, kann ich das dann echt einfach, wie du angefangen hast, bis zur eins weiterführen:
[mm] x^{2} [/mm] = [mm] |x|^{2} [/mm] = |x| [mm] \cdot [/mm] |x| [mm] \leq [/mm] |x| [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \leq [/mm] |x| [mm] \leq [/mm] 1 ?
Also wenn das ausreicht... Kann ich dann einfach mit einem Satz behaupten, dass dadurch bewiesen wurde, dass
[mm] x^{4} [/mm] + 1 [mm] \geq x^{2}, \forall [/mm] |x| < 1
ist, da gezeigt wurde, dass
[mm] x^{2} \leq [/mm] 1 und somit [mm] x^{4} \leq [/mm] 1,
also dank der "+1" [mm] x^{4} [/mm] + 1 [mm] \geq [/mm] 1 ist?
Dann dazu die Fallunterscheidung für |x| [mm] \geq [/mm] 1 von eben zeigen und somit analog aussagen, dass dies auch für y gilt und addiert für die gesamte Gleichung?
Dann wäre ich ja fertig...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 So 06.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Achso ja, kann ich das dann echt einfach, wie du angefangen
> hast, bis zur eins weiterführen:
>
> [mm]x^{2}[/mm] = [mm]|x|^{2}[/mm] = |x| [mm]\cdot[/mm] |x| [mm]\leq[/mm] |x| [mm]\cdot[/mm] 1 [mm]\leq[/mm] |x|
> [mm]\leq[/mm] 1 ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also wenn das ausreicht... Kann ich dann einfach mit einem
> Satz behaupten, dass dadurch bewiesen wurde, dass
> [mm]x^{4}[/mm] + 1 [mm]\geq x^{2}, \forall[/mm] |x| < 1
> ist, da gezeigt wurde, dass
> [mm]x^{2} \leq[/mm] 1 und somit [mm]x^{4} \leq[/mm] 1,
> also dank der "+1" [mm]x^{4}[/mm] + 1 [mm]\geq[/mm] 1 ist?
[mm] $x^4\leq [/mm] 1$ benötigst du nicht, sondern [mm] $x^4\geq [/mm] 0$. Also [mm] $x^2\leq 1\leq x^4+1$.
[/mm]
> Dann dazu die Fallunterscheidung für |x| [mm]\geq[/mm] 1 von eben
> zeigen und somit analog aussagen, dass dies auch für y
> gilt und addiert für die gesamte Gleichung?
>
> Dann wäre ich ja fertig...
Wenn ich nichts übersehen habe: Genau!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 So 06.11.2011 | | Autor: | MiKeMaX |
Okay, dann ist alles klar, aber als letztes noch. Müsste ich [mm] x^{4} \geq [/mm] 0 beweisen, oder kann man das als gegeben annehmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 So 06.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Okay, dann ist alles klar, aber als letztes noch. Müsste
> ich [mm]x^{4} \geq[/mm] 0 beweisen, oder kann man das als gegeben
> annehmen?
Im Zweifelsfall: [mm] $x^4=(x^2)^2\geq [/mm] 0$, denn das Quadrat jeder reellen Zahl ist nichtnegativ.
Ich weiß leider auch nicht im Einzelnen, wie genau ein Übungsleiter die Schritte begründet haben möchte und was als bekannt vorausgesetzt werden darf.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 So 06.11.2011 | | Autor: | MiKeMaX |
Alles klar, ich bedanke mich vielmals! :)
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