Ungeordnete Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Ich weiß inzwischen, dass die Wahrscheinlichkeiten eine ungeordnete Stickprobe zu ziehen, die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist eine geordnete zu ziehen. Mit diesem Wissen kann ich auch die meisten Aufgaben lösen, aber NUR, wenn ich mir ein Baumdiagramm mache und dann die Pfadwahrscheinlichkeiten zusammenzähle. Das muss doch einfacher auch gehen?!
Beispiel:
Aus den fünf Mädchen Antonia, Bärbel, Cäcilie, Doris und Elfi soll ein aus drei Mädchen bestehendes Team ausgelost werden. Wie groß ist für jedes Mädchen die Chance, in das Team zu kommen? (Lösung: 0,6)
Meine Erkenntnisse: Es gibt insgesamt 60 (5*4*3) Möglichkeiten, ein Team zusammen zu stellen und im Endeffekt 10 verschiedene Teams (Bärbel, Cäcilie, Doris ist das selbe wie Cäcilie, Doris, Bärbel). Wenn ich mir das Baumdiagramm anschaue, komme ich auf 36 Möglichkeiten, wo ein bestimmtes Mädchen im Team ist. Weil ich weiß, dass ich die Wahrscheinlichkeit aus der Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten bekomme, erhalte ich (1/5)*(1/4)*(1/3)*(36) = 0,6. Das stimmt auch und bis hierhin find ich alles logisch. Doch es kann ja nicht sein, dass man immer ein Baumdiagramm machen muss um solche Rechnungen zu lösen.
So nun gibt es 4 Formeln, um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, eine Stichprobe zu ziehen:
N ... Anzahl der Elemente (5)
n ... Anzahl der "Ziehungen" (3)
Geordnet
ohne Zurücklegen:
A = N! / (N-n)! ( ... in diesem Beispiel 60)
mit Zurücklegen
A = [mm] $N^n$ [/mm] ( ... in diesem Beispiel 125)
Ungeordnet
ohne Zurücklegen:
A = N! / n!(N-n)! ( ... in diesem Beispiel 10)
mit Zurücklegen
A = (N+n-1) / (n!(N-1)!) (... in diesem Beispiel 35)
So kann mir bitte jemand erklären, wie ich mit diesen Formeln, die Rechnung einfacher lösen kann, d.h. den Zusammenhang erklären zwischen den Formelergebnissen un der Zahl 36? Oder bin ich da auf dem falschen Weg?
Ich weiß nur, dass es eine Stichprobe, ohne Zurücklegen ist, ob geordnet oder nicht, da bin ich mir nie sicher. :(
Ich hoffe ich konnte das Problem gut darlegen und würde mich über Hilfe freuen. :)
Grüße,
strangequark
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 So 13.11.2005 | | Autor: | Cool-Y |
hallo,
nochma die aufgabe:
Aus den fünf Mädchen Antonia, Bärbel, Cäcilie, Doris und Elfi soll ein aus drei Mädchen bestehendes Team ausgelost werden. Wie groß ist für jedes Mädchen die Chance, in das Team zu kommen?
also, bei solchen aufgaben, bei der jede kombination, dieselbe wahrscheinlichkeit hat(nämlich 1/5*1/4*1/3), ist die wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes ereignis gleich der anzahl der möglichkeiten für dieses ereignis geteilt durch die gesamte anzahl der möglichkeiten.
in diesem beispiel kann man eigentlich sowohl die ungeordnete, als auch das geordnete formel benutzen, aber ich würde hier eher zur ungeordneten tendieren, denn es ist ja, wie du gesagt hast egal ob jetzt Bärbel, Cäcilie, Doris oder Cäcilie, Doris, Bärbel.
also die anzahl aller möglichkeiten wäre dann(du musst hier die "ohne zurücklegen"-variante nehmen):
[mm] \bruch{N!}{n!(N-n)!} [/mm] = [mm] \bruch{5!}{3!*2!} [/mm] = 10
(N ist 5, weil es fünf Mädchen gibt, n ist 3, weil es drei plätze im team gibt)
und jetzt musst du noch die anzahl der möglichkeiten berechnen, dass z.b. doris(es ist egal welches mädchen man betrachtet, da alle fünf gleiche chancen haben) dabei ist. hier würd ich empfehlen über das gegenereignis zu rechnen, d.h. die anzahl der möglichkeiten berechen, bei denen doris nicht dabei ist, und das dann von 10 abzuziehen. das wäre dann:
[mm] \bruch{N!}{n!(N-n)!} [/mm] = [mm] \bruch{4!}{3!*1!} [/mm] = 4
(N ist nun 4, da nur noch 4 mädchen möglich sind, alle außer doris)
also gibt es 6 möglichkeiten, bei denen doris im team ist. die wahrscheinlichkeit ist dann:
[mm] P=\bruch{6}{10}=0,6
[/mm]
nun um auf deine frage mit der 36 zurückzukommen:
bei deinem baum, gibt es ja insgesamt 60 zweige, wobei doris-bärbel-elfi und elfi-bärbel-doris zwei verschiedene "pfade" sind. dann kannst du die anzahl der pfade, bei denen z.b. elfi dabei ist wie oben ausrechnen, nur eben mit der "geordneten formel":
elfi nicht dabei: [mm] \bruch{N!}{(N-n)!}=\bruch{4!}{(4-3)!}=24
[/mm]
elfi dabei: 60-24=36
also gibt es 36 pfäde bei denen elfi dabei ist.
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Hallo
Danke für die Antwort, ich seh mir das heute noch später einmal durch. Ich habe das Gefühl, dass ich starke Probleme habe, zu sehen, ob es sich um geordnete oder ungeordnete Stichproben handelt. Zum Beispiel kann ich keinen Unterschied in folgenden Fragestellungen sehen:
Aus 6 Berwerberinnen soll eine Staffel aus 4 Läuferinnen zusammengestellt werden. Berechne die Anzahl der möglichen Staffeln!
Antwort: 6!/(6-4)!=360 (geordnet)
Wie viele Möglichkeiten gibt es, in einer Klasse mit 18 Schülern eine Abordnung von 3 Schülern zu wählen?
Antwort: 18!/(3!*5!) = 816 (ungeordnet)
Ich denke dies zu verstehen, hilft mir bei der eigentlich Aufgabe im Ausgabsposting. Ich sehe irgendwie mathematisch den Unterschied in den beiden Aufgabenstellungen nicht. Ich habe die Lösungen aus dem Lösungsheft, kann den Lösungsweg aber nicht nachvollziegen. Hat vielleicht jemand Links zu einer allgemeinen Einführung zum Thema? Bisher bin ich mit unserem Buch gut zurechtgekommen, doch bei diesem Thema tu ich mich schwer.
Vielen Dank für eure Hilfe,
strangequark
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Hallo,
ich konnte mir auch wenig unter geordnet und ungeordnet vorstellen, aber du kannst dir auch denken:
geordnet = unterscheidbar
ungeordnet = nicht unterscheidbar
<das war irreführend siehe unten>
Ciao, Schlurcher
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Cool-Y |
hallo schlurcher,
warum sollten läuferinnen individuelle personen sein, schüler aber nicht? wenn du also die komplette namensliste der schüler hättest, wären es plötzlich geordnete stichproben?
nein, der springende punkt ist hier, dass es bei einem staffellauf auf die reihenfolge der läuferinnen(bei einem staffellauf laufen ja die sportlerinnen nacheinander) ankommt und bei einer abordnung von schülern nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Schlurcher |
Ich verwende eine etwas andere denkweise, vielleicht hilf sie dir nicht, mir aber schon.
Bei den Läuferinnen:
Du wählst erst deine 4 Läuferinnen aus, diese kannst du nicht unterscheiden, da es alles nur Läuferinnen sind. Dafür hast du
[mm] \vektor{6 \\ 4} [/mm] Möglichkeiten. Nun sind diese Anordnungen der Läuferinnen aber unterscheidbar - also nicht gleich - , also muss du sie noch durchtauschen. Das sind 4! Möglichkeiten. Also insgesammt
[mm] \vektor{6 \\ 4} [/mm] 4! =360 Möglichkeiten.
Bei den Schülern:
Du wählst deine Schüler aus und hast dafür [mm] \vektor{18 \\ 3} [/mm] = 816 Möglichkeiten. Die Schüler sind aber nicht unterscheidbar. Somit ist das das Ergebins. Wenn du die Schüler nummerrieren würdest und die Frage wäre immer noch, wäre die antwort auch noch die gleiche, da das Schülertro 1-2-3 das gleiche ist wie 3-2-1.
Schlurcher
PS: Nur weil es eine andere herangehensweise ist, ist es nicht falsch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Cool-Y |
das mit dem falsch musst du nicht gleich persönlich nehmen.
ich fand nur, dass es so wie's dastand nicht ganz hilfreich ist.
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