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Hallo,
zu dem ersten Teil der Frage:
Auf der linken Seite durchläuft der Laufindex alle Zahlen von 1 bis n, auf der rechten Seite werden alle die [mm] \bruch{1}{m} [/mm] addiert, wo in m ein Primfaktor auftaucht, der kleiner als x ist (was ja wiederum zwischen n und n+1 liegen soll). Also ein Beispiel: x = 5,5, dann ist n = 5:
Linke Seite: 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
Rechte Seite: 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3^2} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{2^2*3^1*5^4} [/mm] + ....
Es werden rechts also viel mehr Zahlen addiert als links.
Der zweite Schritt erscheint mir auch etwas zu schnell. Klar ist: jedes m kannst du wie oben schreiben, also im Beispiel [mm] m=2^{k_1}*3^{k_2}*5^{k_3}[/mm]. Diese [mm]k_i[/mm] können jetzt von 0 bis beliebig laufen. Damit stehen in der rechten Summe:
[mm]\summe_{m}^{}\bruch{1}{m}=\summe_{k_1, k_2, k_3 \ge 0}^{}\bruch{1}{2^{k_1}*3^{k_2}*{5^{k_3}}[/mm] also praktisch eine dreifache Summe.
Wenn du jetzt den anderen Term aufschreibst, erhältst du:
[mm]\summe_{k \ge 0}^{}\bruch{1}{2^k}*\summe_{k \ge 0}^{}\bruch{1}{3^k}*\summe_{k \ge 0}^{}\bruch{1}{5^k}[/mm]
Oder mal nur einige aus diesen Summen:
[mm](\bruch{1}{2^0}+\bruch{1}{2^1}+\bruch{1}{2^2}+ ...)*(\bruch{1}{3^0}+\bruch{1}{3^1}+\bruch{1}{3^2}+ ...)*(\bruch{1}{5^0}+\bruch{1}{5^1}+\bruch{1}{5^2}+ ...)[/mm]
Wenn du das jetzt ausmultiplizierst, siehst du, dass du damit genau alle Varianten von [mm]2^{irgendwas}*3^{irgendwas}*5^{irgendwas}[/mm] im Nenner heraus bekommst. Und das ist ja genau die Summe, die du umschreiben willst.
So kannst du es dir zumindest plausibel machen - ein sauberer Beweis ist es natürlich noch nicht. Und man sieht es auch nicht auf den ersten Blick würde ich sagen.
Gruß,
weightgainer
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Jetzt leuchtet es mir ein.
Vielen Dank, du hast mir sehr geholfen.
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http://www.beweise.mathematic.de/primenumbers-euler2.html
