Unendlichkeit Mersenne-Primzah < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Newboy |
| Aufgabe | | Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen über die Mersenne-Zahlen. |
Habe eine Frage zum Mittelteil dieses Beweises... Ich schreibe nicht den ganzen Beweis ab, wenn ihr aber nicht wisst, was ich meine füge ich diesen gerne nach!
zz. IP ist unendlich
Angenommen: Die Menge der PZ IP ist endlich, p größte PZ
Sei q Primteiler von [mm] 2^{p}-1 [/mm] Dann gilt: [mm] 2^{p} \equiv [/mm] 1 (mod q) (*)
weiter zz: q>p
Nun wird die Ordnung einer Gruppe definiert, was mir klar ist.
hier: [mm] 2^{ord2} \equiv [/mm] 1 (mod q)
Für alle c [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] 2^{ord2*c} \equiv 1^{c} [/mm] = 1 (mod q)
[mm] 2^{n} \equiv [/mm] 1 (mod q) also ord(2) teilt n
Es gilt (*): p ist Vielfaches von ord(2) also ord(2) teilt p
Nun das blaue versteh ich nicht.
Woher kommt das n??
Ist das einfach das Vielfache von ord(2)?
Warum gilt dann, dass p Vielfaches von ord(2) ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:03 Di 06.05.2008 | | Autor: | statler |
> Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen über die
> Mersenne-Zahlen.
> Habe eine Frage zum Mittelteil dieses Beweises... Ich
> schreibe nicht den ganzen Beweis ab, wenn ihr aber nicht
> wisst, was ich meine füge ich diesen gerne nach!
>
> zz. IP ist unendlich
>
> Angenommen: Die Menge der PZ IP ist endlich, p größte PZ
>
> Sei q Primteiler von [mm]2^{p}-1[/mm] Dann gilt: [mm]2^{p} \equiv[/mm] 1
> (mod q) (*)
> weiter zz: q>p
>
> Nun wird die Ordnung einer Gruppe definiert, was mir klar
> ist.
>
> hier: [mm]2^{ord2} \equiv[/mm] 1 (mod q)
> Für alle c [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]2^{ord2*c} \equiv 1^{c}[/mm] = 1 (mod
> q)
>
> [mm]2^{n} \equiv[/mm] 1 (mod q) also ord(2) teilt n
Das soll wohl heißen: Wenn n eine nat. Zahl mit [mm] 2^{n} \equiv [/mm] 1 (mod q) ist, dann ist n ein Vielfaches von ord(2).
Das zeigt man, indem man n durch ord(2) mit Rest teilt. Der Rest muß dann 0 sein, weil ord(2) der kleinste Exponent ist, der 1 ergibt.
> Es gilt (*): p ist Vielfaches von ord(2) also ord(2)
> teilt p
Diese gruppentheoretische Aussage wird dann auf die Gleichung (*) angewandt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Di 06.05.2008 | | Autor: | Newboy |
Hallo, danke für deine Hilfe! Aber ich glaube ich versteh da noch einiges nicht bzw. wie man das formal korrekt niederschreiben würden.
Ich zeige, dass n ein Vielfaches der ord(2) ist, wenn ich n durch Division mit Rest durch ord(2) teile.
Erstmal definiere ich mir n. Also n:=c*ord(2)+d
[mm] 2^{ord2} \equiv [/mm] 1 (mod q)
[mm] 2^{n} \equiv [/mm] 1 (mod q)
[mm] 2^{c*ord2+d}\equiv [/mm] 1 (mod q)
c*ord2=1, weil ord2 der kleinste Exponent ist, der 1 ergibt (wegen Definition Ordnung, oder?) demnach ist d=0
Also [mm] 2^{1+d}= 2^{1} [/mm] * [mm] 2^{d} [/mm] aber was fang ich damit an? Stimmt das überhaupt? Denn [mm] 2^{1} [/mm] * [mm] 2^{0} [/mm] = 2 ist nicht [mm] \equiv [/mm] 1 (mod q) für q>1
Und woher weiß ich, dass p ein Vielfaches von ord(2) ist??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Di 06.05.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
Also n sei eine natürl. Zahl mit [mm] 2^{n} \equiv [/mm] 1. Dann bringe ich n in die Form...
> Ich zeige, dass n ein Vielfaches der ord(2) ist, wenn ich n
> durch Division mit Rest durch ord(2) teile.
>
> Erstmal definiere ich mir n. Also n:=c*ord(2)+d
...n = c*ord(2)+d mit 0 [mm] \le [/mm] d < ord(2) (Teilen mit Rest)
> [mm]2^{ord2} \equiv[/mm] 1 (mod q)
> [mm]2^{n} \equiv[/mm] 1 (mod q)
> [mm]2^{c*ord2+d}\equiv[/mm] 1 (mod q)
Nun ist 1 = [mm] 2^{n} [/mm] = [mm] 2^{c*ord(2)+d} [/mm] = [mm] (2^{ord(2)})^{c}\*2^{d} \equiv 1^{c}\*2^{d} [/mm] = [mm] 2^{d}. [/mm] Da n die kleinste Zahl mit dieser Eig. war, bleibt nur d = 0.
> c*ord2=1, weil ord2 der kleinste Exponent ist, der 1 ergibt
> (wegen Definition Ordnung, oder?) demnach ist d=0
>
> Also [mm]2^{1+d}= 2^{1}[/mm] * [mm]2^{d}[/mm] aber was fang ich damit an?
Nun wissen wir: Ein solches n ist ein Vielfaches der Ordnung.
> Stimmt das überhaupt? Denn [mm]2^{1}[/mm] * [mm]2^{0}[/mm] = 2 ist nicht
> [mm]\equiv[/mm] 1 (mod q) für q>1
Potenzrechnung muß man schon könnenn.
> Und woher weiß ich, dass p ein Vielfaches von ord(2) ist??
Nun, p ist auch so ein n.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 Di 06.05.2008 | | Autor: | Newboy |
Ich glaube jetzt wirds langsam viel klarer, ich werde das ganze einmal sacken lassen und mich gegebenenfalls melden, falls noch etwas unklar sein sollte.
Dankeschön!
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