Unendlicher Körper bei K-VR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $K$ ein unendlicher Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum.
Behauptung:
$V$ ist nicht Vereinigung von endlich vielen echten Teilräumen von $V$ |
Kann mir bitte jemand bei der o.g. Aufgabe weiterhelfen? Den einzigen "Tipp", den ich erhalten habe, ist der, daß ein Widerspruchsbeweis am einfachsten wäre.
Nun denn, ich nehme also an, daß [mm] $n\in\IN$ [/mm] und [mm] $T_1, \ldots, T_n$ [/mm] echte Teilräume von $V$ existieren mit [mm] $T_1\cup\ldots\cup T_n [/mm] = V$.
Jeder Teilraum [mm] $T_i$ [/mm] ist ungleich $V$ (da echte TR), und es ist zumindest die 0 jeweils enthalten - nützt mir aber nicht so viel ...
Es fehlt mir die Idee, wie man die Unendlichkeit von $K$ einbeziehen kann. Diese gilt es vermutlich, zum Widerspruch zu führen.
Hat jemand eine gute Idee?
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Wirklich niemand? Schade :-(
Naja, es soll auch eine sehr schwierige Aufgabe sein, sozusagen eine "Königsdisziplin" 
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> Sei [mm]K[/mm] ein unendlicher Körper, [mm]V[/mm] ein [mm]K[/mm]-Vektorraum.
>
> Behauptung:
> [mm]V[/mm] ist nicht Vereinigung von endlich vielen echten
> Teilräumen von [mm]V[/mm]
> Kann mir bitte jemand bei der o.g. Aufgabe weiterhelfen?
> Den einzigen "Tipp", den ich erhalten habe, ist der, daß
> ein Widerspruchsbeweis am einfachsten wäre.
>
> Nun denn, ich nehme also an, daß [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]T_1, \ldots, T_n[/mm]
> echte Teilräume von [mm]V[/mm] existieren mit [mm]T_1\cup\ldots\cup T_n = V[/mm].
>
> Jeder Teilraum [mm]T_i[/mm] ist ungleich [mm]V[/mm] (da echte TR), und es ist
> zumindest die 0 jeweils enthalten - nützt mir aber nicht so
> viel ...
>
> Es fehlt mir die Idee, wie man die Unendlichkeit von [mm]K[/mm]
> einbeziehen kann.
Im ersten Moment dachte ich, dass man vielleicht aus den Komplementen [mm] $V\backslash T_k$, $k=1,\ldots,n$ [/mm] einen Vektor nehmen und zu einer Linearkombionation zusammensetzen könnte, von der man zeigen kann, dass sie nicht in der Vereinigung der [mm] $T_k$ [/mm] enthalten ist. Möglicherweise muss man aber etwas vorsichtiger vorgehen und z.B. eine streng inklusionsmonoton aufsteigende Folge von Vereinigungen [mm] $U_1:= T_1, \ldots, T_m [/mm] := [mm] \bigcup_{k=1}^n T_k$ [/mm] betrachten, die dieselbe endliche Vereinigung bildet, dann beim Übergang zur nächst, echt grösseren Vereinigung zeigen, dass die noch nicht ganz $V$ sein kann.
Nur so ein Gedanke - ich hab's nicht fertig durchgedacht. Aber vielleicht löst diese Bieridee bei Dir eine bessere Idee aus.
Nachtrag (ca. 10:50 Uhr): Ich denke es wird in jedem Falle nützlich sein, o.B.d.A anzunehmen, dass keiner der Teilräume [mm] $T_k$ [/mm] den anderen enthält und dass die Vereinigung, die angeblich ganz $V$ ergeben soll, minimal ist (dass also kein spezieller Teilraum [mm] $T_k$ [/mm] weggelassen werden kann).
Für den Spezialfall $n=2$ ist zum Beispiel folgendes Argument offensichtlich: Es muss ein [mm] $v_1 \in T_1\backslash T_2$ [/mm] und ein [mm] $v_2 \in T_2\backslash T_1$ [/mm] geben (andernfalls wäre einer der Teilräume redundant oder bereits für sich alleine ganz $V$). Dann ist aber [mm] $v_1+v_2\notin T_1\;\cup\;T_2$. [/mm] Denn wäre dieser Vektor z.B. in [mm] $T_1$, [/mm] so würde wegen der Teilraumeigenschaft sogleich auch [mm] $v_2\in T_1$ [/mm] folgen, im Widerspruch zur Wahl von [mm] $v_2$. [/mm] Analog führt die Annahme, dass [mm] $v_1+v_2\in T_2$ [/mm] ist auf einen Widerspruch zur Wahl von [mm] $v_1$. [/mm] Die Unendlichkeit des Skalarenkörpers dürfte dadurch ins Spiel kommen, dass ja bei Vektorräumen über endlichen Körpern [mm] $v+v+\cdots+v=0$ [/mm] sein kann, obwohl [mm] $v\neq [/mm] 0$.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 Mi 11.07.2007 | | Autor: | Sax |
Nimm [mm] a\in T_{1} [/mm] und [mm] b\in T_{2} [/mm] \ [mm] T_{1}. [/mm] Dann betrachte alle Vektoren a+kb mit [mm] k\in [/mm] K*. Da K unendlich ist, muss es ein [mm] T_{3} [/mm] geben, in dem zwei dieser Vektoren [mm] a+k_{1}b [/mm] und [mm] a+k_{2}b [/mm] liegen. Somit liegen auch a und b als geeignete Linearkombinationen dieser beiden Vektoren in [mm] T_{3}.
[/mm]
Also sind [mm] T_{1} [/mm] und [mm] T_{2} [/mm] Teilmengen von [mm] T_{3}. [/mm] Das sollte zum Widerspruch führen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Mi 11.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo.
Ich hab da grad zumindest eine Idee fuer den Fall [mm] $\dim [/mm] V < [mm] \infty$. [/mm] Da sie ziemlich anders ist wie die anderen poste ich sie mal, auch wenn sie nicht direkt zur Loesung der urspruenglichen Aufgabe beitraegt (da dort die Dimension beliebig ist).
Wenn $V$ endlichdimensional ist, etwa [mm] $\dim [/mm] V = m$, so kann man ohne Einschraenkung annehmen, dass [mm] $\dim T_i [/mm] = m - 1$ ist fuer $i = 1, ..., n$ (wenn du die [mm] $T_i$ [/mm] vergroesserst, aendert sich ja nichts an der Eigenschaft, dass die Vereinigung ganz $V$ ist). Und ohne Einschraenkung sei $V = [mm] K^n$.
[/mm]
Dann gibt es zu jedem [mm] $V_i$ [/mm] ein lineares homogenes Polynom [mm] $f_i [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^m a_{ij} x_j \neq [/mm] 0$ mit [mm] $a_{ij} \in [/mm] K$ mit [mm] $V_i [/mm] = [mm] \{ (x_1, ..., x_n) \in K^n \mid f_i(x_1, ..., x_n) = 0 \}$. [/mm] Wenn du jetzt $f := [mm] \prod_{i=1}^n f_i \neq [/mm] 0$ setzt, dann ist [mm] $f(x_1, [/mm] ..., [mm] x_n) [/mm] = 0$ genau dann, wenn [mm] $(x_1, [/mm] ..., [mm] x_n) \in \bigcup_{i=1}^n T_i$ [/mm] liegt.
Jetzt ist $K$ ein unendlicher Koerper und $f$ ein Polynom ungleich dem Nullpolynom. Damit gibt es ein Tupel [mm] $(x_1, [/mm] ..., [mm] x_n) \in K^m$ [/mm] mit [mm] $f(x_1, [/mm] ..., [mm] x_n) \neq [/mm] 0$, also ist [mm] $\bigcup_{i=1}^n T_i \subsetneqq [/mm] V$.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 14:02 Mi 11.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> Sei [mm]K[/mm] ein unendlicher Körper, [mm]V[/mm] ein [mm]K[/mm]-Vektorraum.
>
> Behauptung:
> [mm]V[/mm] ist nicht Vereinigung von endlich vielen echten
> Teilräumen von [mm]V[/mm]
> Kann mir bitte jemand bei der o.g. Aufgabe weiterhelfen?
> Den einzigen "Tipp", den ich erhalten habe, ist der, daß
> ein Widerspruchsbeweis am einfachsten wäre.
>
> Nun denn, ich nehme also an, daß [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]T_1, \ldots, T_n[/mm]
> echte Teilräume von [mm]V[/mm] existieren mit [mm]T_1\cup\ldots\cup T_n = V[/mm].
>
> Jeder Teilraum [mm]T_i[/mm] ist ungleich [mm]V[/mm] (da echte TR), und es ist
> zumindest die 0 jeweils enthalten - nützt mir aber nicht so
> viel ...
>
> Es fehlt mir die Idee, wie man die Unendlichkeit von [mm]K[/mm]
> einbeziehen kann. Diese gilt es vermutlich, zum Widerspruch
> zu führen.
>
> Hat jemand eine gute Idee?
Ich glaube nun meine erste Bieridee soweit verfeinert zu haben, dass es bis zu einem druckreifen Beweis eigentlich nur noch einiger dekorativer Verbesserungen bedarf.
Meine verfeinerte Bieridee ist folgende: Wir nehmen also o.B.d.A. an, dass kein Teilraum [mm] $T_{k=1,\ldots,n}\subsetneq [/mm] V$ aus der Vereinigung [mm] $\bigcup_{k=1}^n T_k$ [/mm] weggelassen werden kann, ohne dass [mm] $\bigcup_{k=1}^n T_k\subsetneq [/mm] V$ würde. Unter dieser Voraussetzung (und der Annahme, dass [mm] $V=\bigcup_{k=1}^n T_k$ [/mm] ist: was wir auf einen Widerspruch führen wollen) muss es $n$ Vektoren [mm] $\vec{t}_i\in T_i\backslash \bigcup_{k\neq i} T_k$ ($i=1,\ldots,n$) [/mm] geben.
Da der Skalarenkörper unendlich ist, enthält er insbesondere [mm] $\IZ$ [/mm] (und alle Primzahlen).
Nun betrachten wir Linearkombinationen dieser $n$ Vektoren [mm] $\vec{t}_{i=1,\ldots,n}$ [/mm] der Form [mm] $\vec{v}_m [/mm] = [mm] p_{m,1} \vec{t}_1+\cdots+p_{m,n} \vec{t}_n$, [/mm] wobei die [mm] $p_{m,k}$ ($m\in \IN, k=1,\ldots,n$) [/mm] alles zueinander teilerfremde Skalaren(z.B. Primzahlen) sind. Da alle diese Vektoren in $V$ liegen, und, nach Voraussetzung, [mm] $V=\bigcup_{k=1}^n T_k$ [/mm] ist, muss es mindestens einen Teilraum, sagen wir [mm] $T_{i_\infty}$ [/mm] geben, der unendlich viele solche Linearkombinationen mit je teilerfremden skalaren Faktoren gewichteter [mm] $\vec{t}_{k=1,\ldots,n}$ [/mm] enthält. Nun muss man nur noch zeigen, dass daraus folgt, dass in diesem Falle [mm] $T_{i_\infty}$ [/mm] nicht nur den Vektor [mm] $\vec{t}_{i\infty}$, [/mm] sondern sogar alle [mm] $\vec{t}_k$ [/mm] enthält (mindestens ein [mm] $\vec{t}_k\in T_{i_\infty}$ [/mm] mit [mm] $k\neq i_\infty$ [/mm] würde an sich schon genügen). Dies ist aber ein Widerspruch zur Wahl der [mm] $\vec{t}_k$ [/mm] mit [mm] $k\neq i_\infty$.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Mi 11.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich glaube nun meine erste Bieridee soweit verfeinert zu
> haben, dass es bis zu einem druckreifen Beweis eigentlich
> nur noch einiger dekorativer Verbesserungen bedarf.
> Meine verfeinerte Bieridee ist folgende: Wir nehmen also
> o.B.d.A. an, dass kein Teilraum [mm]T_{k=1,\ldots,n}\subsetneq V[/mm]
> aus der Vereinigung [mm]\bigcup_{k=1}^n T_k[/mm] weggelassen werden
> kann, ohne dass [mm]\bigcup_{k=1}^n T_k\subsetneq V[/mm] würde.
> Unter dieser Voraussetzung (und der Annahme, dass
> [mm]V=\bigcup_{k=1}^n T_k[/mm] ist: was wir auf einen Widerspruch
> führen wollen) muss es [mm]n[/mm] Vektoren [mm]\vec{t}_i\in T_i\backslash \bigcup_{k\neq i} T_k[/mm]
> ([mm]i=1,\ldots,n[/mm]) geben.
> Da der Skalarenkörper unendlich ist, enthält er
> insbesondere [mm]\IZ[/mm] (und alle Primzahlen).
Also das stimmt so nicht: nimm etwa den algebraischen Abschluss von [mm] $\IZ/p\IZ$. [/mm] Der hat abzaehlbar unendlich viele Elemente und enthaelt garantiert nicht [mm] $\IZ$.
[/mm]
Wenn man jedoch einfach nur noch paarweise verschiedene Elemente nimmt, dann klappt's nicht mehr... :-( (Zumindest nicht mit genau dem Argument...)
Was besseres faellt mir grad allerdings auch nicht ein...
Allerdings: ist $U [mm] \subseteq [/mm] V$ irgendein Untervektorraum, und ist [mm] $T_i' [/mm] := [mm] T_i \cap [/mm] U$, so ist $U = [mm] \bigcup_{i=1}^n T_i'$. [/mm] Und wenn man jetzt $U = [mm] \mathop{\mathrm{span}}\{ t_1, \dots, t_n \}$ [/mm] waehlt, hat man, dass [mm] $T_i' \subsetneqq [/mm] U$ ist. So kann man das ganze dann auf den Fall [mm] $\dim [/mm] V < [mm] \infty$ [/mm] zurueckfuehren und bekommt dann mit meiner Antwort die allgemeine Loesung.
Ich kann mir aber gut vorstellen, dass es auch noch direkter geht
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:35 Do 12.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> Allerdings: ist [mm]U \subseteq V[/mm] irgendein Untervektorraum,
> und ist [mm]T_i' := T_i \cap U[/mm], so ist [mm]U = \bigcup_{i=1}^n T_i'[/mm].
> Und wenn man jetzt [mm]U = \mathop{\mathrm{span}}\{ t_1, \dots, t_n \}[/mm]
> waehlt, hat man, dass [mm]T_i' \subsetneqq U[/mm] ist. So kann man
> das ganze dann auf den Fall [mm]\dim V < \infty[/mm] zurueckfuehren
> und bekommt dann mit meiner Antwort die allgemeine
> Loesung.
Mit dieser Methode kann man auch den endlichdimensionalen Fall beweisen, und zwar per Induktion nach [mm] $\dim [/mm] V$. Fuer [mm] $\dim [/mm] V = 1$ ist die Behauptung klar, dann muss [mm] $T_i [/mm] = [mm] \{ 0 \}$ [/mm] sein fuer alle $i$.
Ist $d := [mm] \dim [/mm] V > 1$, so kann man sich ueberlegen, dass es mindestens $|K|$ verschiedene $d - 1$-dimensionale UVRe von $V$ gibt: ist [mm] $e_1, \dots, e_d$ [/mm] eine Basis von $V$, so kann man [mm] $\mathop{\mathrm{span}}\{ e_1, \dots, e_{d-2}, e_{d-1} + \lambda e_d \}$ [/mm] nehmen, [mm] $\lambda \in [/mm] K$.
Da $|K| > n$ ist (hier sieht man, dass dieses Argument auch fuer Kardinalzahlen $n$ funktioniert, die kleiner als $|K|$ sind), gibt es einen $d - 1$-dimensionalen UVR $V'$ von $V$, der von [mm] $T_1, \dots, T_n$ [/mm] verschieden ist. Wenn man also die [mm] $T_i$ [/mm] mit $V'$ schneidet, bekommt man $V' = [mm] \bigcup (T_i \cap [/mm] V')$ und [mm] $T_i \cap [/mm] V' [mm] \subsetneqq [/mm] V'$, und per Induktionsvoraussetzung kann dies nicht der Fall sein.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:24 Do 12.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hallo!
>
> > Ich glaube nun meine erste Bieridee soweit verfeinert zu
> > haben, dass es bis zu einem druckreifen Beweis eigentlich
> > nur noch einiger dekorativer Verbesserungen bedarf.
> > Meine verfeinerte Bieridee ist folgende: Wir nehmen
> also
> > o.B.d.A. an, dass kein Teilraum [mm]T_{k=1,\ldots,n}\subsetneq V[/mm]
> > aus der Vereinigung [mm]\bigcup_{k=1}^n T_k[/mm] weggelassen werden
> > kann, ohne dass [mm]\bigcup_{k=1}^n T_k\subsetneq V[/mm] würde.
> > Unter dieser Voraussetzung (und der Annahme, dass
> > [mm]V=\bigcup_{k=1}^n T_k[/mm] ist: was wir auf einen Widerspruch
> > führen wollen) muss es [mm]n[/mm] Vektoren [mm]\vec{t}_i\in T_i\backslash \bigcup_{k\neq i} T_k[/mm]
> > ([mm]i=1,\ldots,n[/mm]) geben.
> > Da der Skalarenkörper unendlich ist, enthält er
> > insbesondere [mm]\IZ[/mm] (und alle Primzahlen).
>
> Also das stimmt so nicht: nimm etwa den algebraischen
> Abschluss von [mm]\IZ/p\IZ[/mm].
Dies wäre dann ein unendlicher Körper mit endlicher Charakteristik, bei dem also das Einselement endliche Ordnung hat, derart, dass [mm] $1+\cdots+1=1$ [/mm] sein kann? Demnach hatte ich fälschlicherweise angenommen, dass ein unendlicher Körper notwendigerweise Charakteristik 0 haben müsse.
Offenbar leide ich unter der Beschränktheit, mir endliche Körper immer als Galois-Felder, unendliche aber als [mm] $\IQ$, $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$, [/mm] jedenfalls als solche mit Charakteristik 0, vorzustellen. (So schreibt etwa Werner Greub, GTM/Springer, schon auf Seite 3 seiner 'Linear Algebra': "Throughout this book it will be assumed without explicit mention that all fields are of characteristic zero." Grund für eine solche implizite Konvention dürfte sein, dass einfach zuviele Vektorraum-Argumente aus dem Fenster gehen, wenn man diese Voraussetzung nicht macht.)
> Der hat abzaehlbar unendlich viele
> Elemente und enthaelt garantiert nicht [mm]\IZ[/mm].
>
> Wenn man jedoch einfach nur noch paarweise verschiedene
> Elemente nimmt, dann klappt's nicht mehr... :-( (Zumindest
> nicht mit genau dem Argument...)
Man benötigt einfach genügend viele, genügend verschiedneartige Linearkombinationen der [mm] $\vec{t}_{k=1,\ldots,n} \in T_{i_\infty}$, [/mm] damit sie sich so linear-kombinieren lassen, dass man zumindest ein [mm] $\vec{t}_k$ [/mm] mit [mm] $k\neq i_\infty$ [/mm] als in [mm] $T_{i_\infty}$ [/mm] liegend nachweisen kann. Ich mag einfach (noch) nicht glauben, dass man dazu allzu subtile Eigenschaften von unendlichen Körpern mit endlicher Charakteristik heranziehen muss, bzw. ich wäre nicht erstaunt zu erfahren, dass auch der Aufgabensteller versehentlich die Vorstellung unendlicher Körper mit derjenigen von Körpern mit Charakteristik 0 durcheinander gebracht haben könnte...
> Was besseres faellt mir grad allerdings auch nicht ein...
>
> Allerdings: ist [mm]U \subseteq V[/mm] irgendein Untervektorraum,
> und ist [mm]T_i' := T_i \cap U[/mm], so ist [mm]U = \bigcup_{i=1}^n T_i'[/mm].
> Und wenn man jetzt [mm]U = \mathop{\mathrm{span}}\{ t_1, \dots, t_n \}[/mm]
> waehlt, hat man, dass [mm]T_i' \subsetneqq U[/mm] ist. So kann man
> das ganze dann auf den Fall [mm]\dim V < \infty[/mm] zurueckfuehren
> und bekommt dann mit meiner Antwort die allgemeine
> Loesung.
>
> Ich kann mir aber gut vorstellen, dass es auch noch
> direkter geht
Ja, ein möglichst direktes Argument wäre eleganter fürs Auge.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:20 Do 12.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hallo!
>
> > Ich glaube nun meine erste Bieridee soweit verfeinert zu
> > haben, dass es bis zu einem druckreifen Beweis eigentlich
> > nur noch einiger dekorativer Verbesserungen bedarf.
> > Meine verfeinerte Bieridee ist folgende: Wir nehmen
> also
> > o.B.d.A. an, dass kein Teilraum [mm]T_{k=1,\ldots,n}\subsetneq V[/mm]
> > aus der Vereinigung [mm]\bigcup_{k=1}^n T_k[/mm] weggelassen werden
> > kann, ohne dass [mm]\bigcup_{k=1}^n T_k\subsetneq V[/mm] würde.
> > Unter dieser Voraussetzung (und der Annahme, dass
> > [mm]V=\bigcup_{k=1}^n T_k[/mm] ist: was wir auf einen Widerspruch
> > führen wollen) muss es [mm]n[/mm] Vektoren [mm]\vec{t}_i\in T_i\backslash \bigcup_{k\neq i} T_k[/mm]
> > ([mm]i=1,\ldots,n[/mm]) geben.
> > Da der Skalarenkörper unendlich ist, enthält er
> > insbesondere [mm]\IZ[/mm] (und alle Primzahlen).
>
> Also das stimmt so nicht: nimm etwa den algebraischen
> Abschluss von [mm]\IZ/p\IZ[/mm]. Der hat abzaehlbar unendlich viele
> Elemente und enthaelt garantiert nicht [mm]\IZ[/mm].
Ist es überhaupt sinnvoll, im Kontext einer Diskussion von Vektorräumen, Körper mit endlicher Charakteristik in Betracht zu ziehen? - Ich glaube nicht, denn in einem solchen Falle wäre sogar der Begriff der linearen Unabhängigkeit nicht sinnvoll verwendbar: jeder Vektor wäre schon für sich alleine linear abhängig (und damit jede Menge von Vektoren), weil es ein [mm] $n\in\IN\backslash\{0\}$ [/mm] geben würde, so dass [mm] $n\vec{v}=\vec{0}$ [/mm] wäre.
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> Ist es überhaupt sinnvoll, im Kontext einer Diskussion von
> Vektorräumen, Körper mit endlicher Charakteristik in
> Betracht zu ziehen? - Ich glaube nicht, denn in einem
> solchen Falle wäre sogar der Begriff der linearen
> Unabhängigkeit nicht sinnvoll verwendbar: jeder Vektor wäre
> schon für sich alleine linear abhängig (und damit jede
> Menge von Vektoren), weil es ein [mm]n\in\IN\backslash\{0\}[/mm]
> geben würde, so dass [mm]n\vec{v}=\vec{0}[/mm] wäre.
>
Hallo,
Du hast zwar recht damit, daß in einem Körper der Charakteristik n
n*v=0 wäre.
Aber was bedeutet das?
[mm] 0=\underbrace{(1+...+1)}_{n-mal}v [/mm] mit [mm] 1\in [/mm] K (nicht in [mm] \IN [/mm] !)
Dein n in n*v ist also gerade die Null in K. Und damit ist die Sinnhaftigkeit der linearen Unabhängigkeit gerettet.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:44 Do 12.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> > Ist es überhaupt sinnvoll, im Kontext einer Diskussion von
> > Vektorräumen, Körper mit endlicher Charakteristik in
> > Betracht zu ziehen? - Ich glaube nicht, denn in einem
> > solchen Falle wäre sogar der Begriff der linearen
> > Unabhängigkeit nicht sinnvoll verwendbar: jeder Vektor wäre
> > schon für sich alleine linear abhängig (und damit jede
> > Menge von Vektoren), weil es ein [mm]n\in\IN\backslash\{0\}[/mm]
> > geben würde, so dass [mm]n\vec{v}=\vec{0}[/mm] wäre.
> >
>
> Hallo,
>
> Du hast zwar recht damit, daß in einem Körper der
> Charakteristik n
> n*v=0 wäre.
>
> Aber was bedeutet das?
>
> [mm]0=\underbrace{(1+...+1)}_{n-mal}v[/mm] mit [mm]1\in[/mm] K (nicht in
> [mm]\IN[/mm] !)
>
> Dein n in n*v ist also gerade die Null in K. Und damit ist
> die Sinnhaftigkeit der linearen Unabhängigkeit gerettet.
Stimmt. Allerdings ist dies im Kontext der Vektorraumaddition nicht unbedingt so harmlos, wie es scheint: man kann also einen Vektor endlich viele male zu sich selbst addieren, [mm] $\vec{v}+\cdots+\vec{v}=\vec{0}$ [/mm] und erhält den Nullvektor. Wow. Eine solche Pathologie hätte ich zwar von einem endlichen Skalarenkörper gerade erwartet, aber (wie felixf gezeigt hat: fälschlicherweise) nicht von einem unendlichen.
Dieser Einwand war wieder einmal etwas voreilig von mir. Ich frage mich gerade, wieviel von der Vektorraumtheorie, die man mir im Laufe des Studiums vermittelt hat, ich überhaupt noch anwenden dürfte, wenn ich derart mühsame Skalarenkörper (wie unendliche mit endlicher Charakteristik) annehmen müsste. Aber, zugegeben, alle endlichen Skalarenkörper haben ja dasselbe Problem...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 Do 12.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > > Ist es überhaupt sinnvoll, im Kontext einer Diskussion von
> > > Vektorräumen, Körper mit endlicher Charakteristik in
> > > Betracht zu ziehen? - Ich glaube nicht, denn in einem
> > > solchen Falle wäre sogar der Begriff der linearen
> > > Unabhängigkeit nicht sinnvoll verwendbar: jeder Vektor wäre
> > > schon für sich alleine linear abhängig (und damit jede
> > > Menge von Vektoren), weil es ein [mm]n\in\IN\backslash\{0\}[/mm]
> > > geben würde, so dass [mm]n\vec{v}=\vec{0}[/mm] wäre.
> > >
> >
> > Hallo,
> >
> > Du hast zwar recht damit, daß in einem Körper der
> > Charakteristik n
> > n*v=0 wäre.
> >
> > Aber was bedeutet das?
> >
> > [mm]0=\underbrace{(1+...+1)}_{n-mal}v[/mm] mit [mm]1\in[/mm] K (nicht in
> > [mm]\IN[/mm] !)
> >
> > Dein n in n*v ist also gerade die Null in K. Und damit ist
> > die Sinnhaftigkeit der linearen Unabhängigkeit gerettet.
>
> Stimmt. Allerdings ist dies im Kontext der
> Vektorraumaddition nicht unbedingt so harmlos, wie es
> scheint: man kann also einen Vektor endlich viele male zu
> sich selbst addieren, [mm]\vec{v}+\cdots+\vec{v}=\vec{0}[/mm] und
> erhält den Nullvektor.
Genau. Und die Anzahl der Summanden ist dann (zwangsweise) ein Vielfaches der Charakteristik.
> Wow. Eine solche Pathologie hätte
> ich zwar von einem endlichen Skalarenkörper gerade
> erwartet, aber (wie felixf gezeigt hat: fälschlicherweise)
> nicht von einem unendlichen.
Das meiner Meinung nach einfachste Beispiel fuer einen unendlichen Koerper mit endlicher Charakteristik ist uebrigens [mm] $\IF_2(x)$, [/mm] also die rationalen Funktionen mit Koeffizienten aus [mm] $\IF_2$.
[/mm]
> Dieser Einwand war wieder einmal etwas voreilig von mir.
> Ich frage mich gerade, wieviel von der Vektorraumtheorie,
> die man mir im Laufe des Studiums vermittelt hat, ich
> überhaupt noch anwenden dürfte, wenn ich derart mühsame
> Skalarenkörper (wie unendliche mit endlicher
> Charakteristik) annehmen müsste. Aber, zugegeben, alle
> endlichen Skalarenkörper haben ja dasselbe Problem...
Also mir faellt spontan nichts ein, was in endlicher Charakteristik nicht auch geht. Das einzige Problem ist Charakteristik 2, da dort gewisse Charakterisierungen nicht funktionieren, etwa kommt dort nicht jede quadratische Form von einer symmetrischen Bilinearform, und man muss aufpassen, wenn man den Begriff `alternierend' fuer eine Multilinearform definiert. Ansonsten geht eigentlich alles. (Zumindest gab es in der LinAlg-2-Vorlesung, die ich diesen Sommer betreut habe, nichts anderes was nicht auch in endlicher Charakteristik funktioniert...)
LG Felix
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 09:34 Do 12.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> > Sei [mm]K[/mm] ein unendlicher Körper, [mm]V[/mm] ein [mm]K[/mm]-Vektorraum.
> >
> > Behauptung:
> > [mm]V[/mm] ist nicht Vereinigung von endlich vielen echten
> > Teilräumen von [mm]V[/mm]
> > Kann mir bitte jemand bei der o.g. Aufgabe
> weiterhelfen?
> > Den einzigen "Tipp", den ich erhalten habe, ist der, daß
> > ein Widerspruchsbeweis am einfachsten wäre.
> >
> > Nun denn, ich nehme also an, daß [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]T_1, \ldots, T_n[/mm]
> > echte Teilräume von [mm]V[/mm] existieren mit [mm]T_1\cup\ldots\cup T_n = V[/mm].
>
> >
> > Jeder Teilraum [mm]T_i[/mm] ist ungleich [mm]V[/mm] (da echte TR), und es ist
> > zumindest die 0 jeweils enthalten - nützt mir aber nicht so
> > viel ...
> >
> > Es fehlt mir die Idee, wie man die Unendlichkeit von [mm]K[/mm]
> > einbeziehen kann. Diese gilt es vermutlich, zum Widerspruch
> > zu führen.
> >
> > Hat jemand eine gute Idee?
> Ich glaube nun meine erste Bieridee soweit verfeinert zu
> haben, dass es bis zu einem druckreifen Beweis eigentlich
> nur noch einiger dekorativer Verbesserungen bedarf.
> Meine verfeinerte Bieridee ist folgende: Wir nehmen also
> o.B.d.A. an, dass kein Teilraum [mm]T_{k=1,\ldots,n}\subsetneq V[/mm]
> aus der Vereinigung [mm]\bigcup_{k=1}^n T_k[/mm] weggelassen werden
> kann, ohne dass [mm]\bigcup_{k=1}^n T_k\subsetneq V[/mm] würde.
> Unter dieser Voraussetzung (und der Annahme, dass
> [mm]V=\bigcup_{k=1}^n T_k[/mm] ist: was wir auf einen Widerspruch
> führen wollen) muss es [mm]n[/mm] Vektoren [mm]\vec{t}_i\in T_i\backslash \bigcup_{k\neq i} T_k[/mm]
> ([mm]i=1,\ldots,n[/mm]) geben.
> Da der Skalarenkörper unendlich ist, enthält er
> insbesondere [mm]\IZ[/mm] (und alle Primzahlen).
Wie felixf bemerkt hat, mache ich hier die streng genommen nicht zulässige Annahme, dass ein unendlicher Körper notwendigerweise Charakteristik 0 haben müsse.
Meine "verfeinerte Bieridee" liesse sich also höchstens unter dieser stärkeren Voraussetzung, dass der Skalarenkörper Charakteristik 0 habe (also gewissermassen "unendliche Charakteristik"), durchziehen. - Andernfalls bleibt sie eine blosse, ahem, Bieridee...
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