Unendliche Summe berechnen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich will folgende Summe berechnen.
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] (2J+1) exp(- J(J+1)*C) mit 0<C<1.
Kann mir da vlt jmd. helfen? Bringt es vielleicht etwas, die e-Funktion in eine Taylorreihe umzuschreiben?
Lg, David
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Hallo David,
soll J hier i sein? Sonst macht die Aufgabe kaum Sinn.
> Hallo,
> ich will folgende Summe berechnen.
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}[/mm] (2J+1) exp(- J(J+1)*C) mit 0<C<1.
Meinst du also [mm] $\summe_{i=1}^{\infty}(2i+1)e^{-i(i+1)C}$ [/mm] ?
> Kann mir da vlt jmd. helfen? Bringt es vielleicht etwas,
> die e-Funktion in eine Taylorreihe umzuschreiben?
Hm. Das sieht so aus, ja.
Aber erst mal möchte ich wissen, ob ich richtig geraten habe.
Grüße
reverend
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Ja, richtig geraten. :) Sorry, wollte eigentlich das i unter der Summe in ein J umschreiben, aber naja.
Und was genau bringt das? Das sieht dann doch viel komplizierter aus, leider.
Lg, David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:34 Mi 29.08.2012 | | Autor: | reverend |
Das sieht in der Tat schwierig aus, wie kaum anders zu erwarten.
Wenn Du nur eine gute Abschätzung für bestimmte C brauchst, nimm doch ![[]](/images/popup.gif) WolframAlpha.
Die dort ermittelten Werte sprechen dafür, dass für kleine C (C<0,5) die Summe sich [mm] \bruch{1}{C}-2/3 [/mm] nähert, warum auch immer.Z
Zu Fuß bekomme ich das gerade nicht hergeleitet; die Terme der Taylorreihe von [mm] e^x [/mm] (bei Entwicklung um x=0) eignen sich wirklich nicht gut für eine Zusammenfassung, so weit ich sehe.
Brauchst Du wirklich eine genaue analytische Lösung?
Und warum steht die Frage unter Integralrechnung? Das wäre ja auch noch eine Idee. Als Integral (sogar unbestimmt) ist das relativ leicht zu bestimmen. Also dies hier:
[mm] \int{(2x+1)*e^{-x(x+1)*C}\ dx}= [/mm] ?
Grüße
reverend
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Naja in der Lösung wird ein Integral hingeschrieben. C ist auf jeden Fall klein, verglichen mit 1.
Die Summe soll offenbar gegen das Integral [mm] \integral_{0}^{\infty}{exp(-C*u) du} [/mm] mit u=J(J+1) gehen.
Und naja, eine exakte analytische Lösung muss es nicht sein, es handelt sich letztlich um eine physikalische Rechnung, also geht auch eine Lösung, die "in erster Näherung" stimmt.
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:20 Do 30.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Naja in der Lösung wird ein Integral hingeschrieben. C ist
> auf jeden Fall klein, verglichen mit 1.
> Die Summe soll offenbar gegen das Integral
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{exp(-C*u) du}[/mm] mit u=J(J+1) gehen.
> Und naja, eine exakte analytische Lösung muss es nicht
> sein, es handelt sich letztlich um eine physikalische
> Rechnung, also geht auch eine Lösung, die "in erster
> Näherung" stimmt.
ich weiß gerade nicht, ob's was bringt, aber:
Setze
[mm] $$g(x):=\summe_{n=1}^{\infty} \underbrace{(2n+1) \exp(-n(n+1)*x)}_{=:f_x(n)}$$ [/mm]
für [mm] $0
[mm] $$\int_{n=0}^\infty f_x(n)dn=\int_{n=0}^\infty [/mm] (2n+1) [mm] \exp(-n(n+1)*x)dn\,.$$
[/mm]
(Beachte die Integrationsvariable - die heißt nun (entgegen jeder Didaktik)
hier [mm] $n\,$ [/mm] und [mm] $x\,$ [/mm] ist der feste Parameter - vll. hätte ich besser [mm] $C\,$
[/mm]
für [mm] $x\,$ [/mm] stehengelassen!)
Subsitutiert man nun [mm] $u=u(n):=n^2+n\,,$ [/mm] so ist [mm] $du=(2n+1)dn\,.$ [/mm] D.h.
ich vermute, man hat hier das IntegralkriteriumEingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
angewendet,
und danach dann substituiert.
Aber das nur rein theoretisch: Ich habe es mir nämlich erspart, zu prüfen,
ob überhaupt die Voraussetzungen zur Anwendung dieses Kriteriums
erfüllt sind. Aber so würde das Ergebnis fast passen - man hätte eigentlich
nur, dass die Ausgangssumme $\le$ dem angegebenen Integral ist.
Und in der Physik ist dann die Differenz zu dem Integral - warum auch
immer - "vernachlässigbar".
P.S.
$$\int_{u=0}^{u=\infty} \exp(-Cu)du=\left.-\;\frac{1}{C}\exp(-Cu)\right|_{u=0}^{u=\infty}=0-(-1/C)=1/C\;\;(> 1)\,.$$
P.P.S.
Wie man an Plots sieht (und das kann man sicher auch durch Untersuchung
des Monotonieverhaltens der $f_x$ nachweisen), darf man hier eigentlich
nicht mit dem Integralkriterium so vorgehen - denn das könnte man dann
nur stückweise. Daher: Das ganze ist alles andere als mathematisch exakt,
wenn da wirklich so vorgegangen worden ist. Für sehr kleine $C\,$ (bzw.
ich habe die ja $x\,$ genannt) nahe der Null sollte man da Schwierigkeiten
bekommen, jedenfalls entnehme ich das ein paar Plots!
Gruß,
Marcel
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