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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo zusammen,
ich habe da ein kleines Problem mit Reihen. Ich weiß nie so genau, wie ich die angehen soll. Bei Folgen viel mir das gegen Ende leichter. Aber bei Reihen, vielleicht muss ich damit einfach nur üben, also ich habe die Reihen:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+2)}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3+(-1)^{n}}{2^{n}}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{ \pmat{ n + 2 \\ n }}{n^{2}}
[/mm]
Bei a) habe ich rausbekommen, dass sie konvergiert mit dem Grenzwert [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
Bei b) weiß ich, dass sie konvergiert mit dem Grenzwert [mm] \bruch{19}{3}
[/mm]
Bei c) weiß ich noch nichts.
Meine Frage ist, wie kriege ich das raus.
Bei a) und b) habe ich ein paar Werte ausgerechnet, aber das muss doch mit irgendwelchen Kriterien gehen? Mir fehlen irgendwie etwas die Beispiele. Aus dem Skript werde ich wie immer nicht so schlau. *seufz*
Ich hoffe ihr könnt mir etwas helfen mit Reihen klar zu kommen.
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Hallo!
Habt ihr in der Vorlesung schon das ![[]](/images/popup.gif) Quotienten- und das Wurzelkriterium gehabt? Diese beiden kann man hier nämlich prima anwenden...
Bei der dritten Reihe solltest du das Argument erstmal umschreiben:
[mm] $\bruch{\vektor{n+2\\n}}{n^2}=\bruch{\vektor{n+2\\2}}{n^2}=\bruch{(n+2)(n+1)}{2n^2}$.
[/mm]
Und es gilt [mm] $\bruch{(n+2)(n+1)}{2n^2}\to\bruch{1}{2}$...
[/mm]
Kommst du damit weiter? Helfe dir gerne, wenn du noch einen Tipp brauchst!
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Becks |
Ja, das hatten wir schon die beiden Kriterien.
Also bei der a) habe ich für größere Zahlen immer Wurzel an < 1 raus. Also konvergiert diese Reihe absolut.
Aber ich kann doch nicht hinschreiben, dass es einfach kleiner als 1 ist. Ich muss das doch irgendwie begründen oder? Weil ich habe jetzt einfach für n=1000000 genommen. Kann jemand den Grenzwert auch bestimmen mit 0,75? Ich bin mir so unsicher irgendwie.
Bei der b) habe ich das gleiche Problem. Ich habe auch wieder große Zahlen für n genommen und es ist wieder Wurzel an < 1. Also konvergiert diese Reihe auch absolut. Aber auch da weiß ich nicht, wie ich das aufschreiben soll.
Kann auch jemand hier mir den Grenzwert bestätigen? ich hatte [mm] \bruch{19}{3}
[/mm]
bei der c) habe ich auch mal etwas gerechnet und eingesetzt. Da habe ich keinen Grenzwert gefunden. Aber laut Wurzelkriterium konvergiert die Reihe absolut. Hmm, kann das sein?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
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Hallo!
Bei der ersten Aufgabe komme ich auch auf [mm] $\bruch{3}{4}$, [/mm] bei der zweiten allerding auf [mm] $\bruch{8}{3}$. [/mm] Vielleicht kannst du deine Rechnung ja nochmal überprüfen oder posten...
Jedenfalls genügt es nicht, einfach für einen Term nachzurechnen, dass [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n}<1$ [/mm] ist. Es nützt ja noch nicht mal viel, wenn alle [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n}<1$, [/mm] wie man an der Reihe [mm] $\summe\bruch{1}{n}$ [/mm] sehen kann!
Deshalb kommst du bei der ersten Aufgabe auch mit dem Quotientenkriterium nicht viel weiter. Was dir aber hilft, ist, dass [mm] $\bruch{1}{n(n+2)}\le\bruch{1}{n^2}$. [/mm] Dann schlägst du mit dem Majorantenkriterium zu...
Aber bei der zweiten Reihe hilft das Wurzelkriterium weiter:
[mm] $\sqrt[n]{\left|\bruch{3+(-1)^n}{2^n}\right|}\le\sqrt[n]{\bruch{4}{2^n}}=\bruch{\sqrt[n]{4}}{2}\to\bruch{1}{2}$...
[/mm]
Und bei der dritten? Eine Folge muss schon eine Nullfolge sein, damit die Reihe konvergiert...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Becks |
Also ich habe mir einfach kurz ein Programm geschrieben, was mir die Grenzwerte ausrechnet. Daher komme ich auf die Ergebnisse. Habe einfach die Summe von 1 bis 1000 hochlaufen lassen. Weil ich wüsste nicht wie man das sonst bestimmen kann.
Oder kann man das auch geschickter machen?
bzw. ohne PC :)
Ich glaube das mit dem Majorantenkriterium verstehe ich nicht :-( Was nützt es mir, wenn ich ne weitere Reihe habe?
Aber ich glaube die b) habe ich jetzt verstanden. Mit dem Wurzelkriterium formt man solange um, bis man nen konstanten Wert hat und dann kann man sagen, dass ist immer kleiner 1 oder?
Und bei der c kann man doch sagen, dass der Zähler immer größer ist als der Nenner. Also gibt es keinen Grenzwert und die Reihe ist divergent oder?
Auf jeden Fall bin ich dir so so dankbar für deine Hilfe. Ich verstehe am anfang immer irgendwie nur Bahnhof.
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Hallo!
Die Idee dahinter, eine Majorante zu finden, ist, dass wenn [mm] $|a_n|\le|b_n|$ [/mm] und [mm] $\summe |b_n|<\infty$, [/mm] auch [mm] $\summe |a_n|<\infty$ [/mm] sein muss...
Bei b) geht es darum, dass [mm] $\limsup \sqrt[n]{a_n}<1$ [/mm] sein muss...
Und bei c): [mm] $\summe \bruch{(n+1)(n+2)}{n^2}\ge\summe 1=\infty$...
[/mm]
Natürlich kannst du die Reihen mit einem Computer berechnen, es geht aber auch anders: Die erste zum Beispiel kannst du in eine Teleskopsumme umwandeln und die zweite in eine geometrische Reihe...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Di 31.05.2005 | | Autor: | Becks |
Erstmal vielen Dank :)
Mir ist das alles viel klarer geworden. Aber eine Sache verstehe ich nocht nicht so ganz.
Die a) habe ich kapiert. da sage ich, dass [mm] \bruch{1}{n(n+2)} \le \bruch{1}{n²} [/mm] ist. [mm] \bruch{1}{n²} [/mm] liefert keine negativen Summanden und es gilt für alle n.
Es gilt:
| [mm] \bruch{1}{n(n+2)} [/mm] | [mm] \le \bruch{1}{n²}
[/mm]
Somit wird die eine Reihe von der anderen majorisiert und sie konvergiert absolut.
Grenzwert ist ja 0,75. Kann ich das mit Partialsummen nachweisen? ODer wir hatten was mit Bolzano-Weierstraß.. Aber ich weiß nicht wie ich die anwende.
bei der b)
wende ich das Wurzelkriterium an und sage:
[mm] \sqrt[n]{\left|\bruch{3+(-1)^n}{2^n}\right|}\le\sqrt[n]{\bruch{4}{2^n}}=\bruch{\sqrt[n]{4}}{2}\to\bruch{1}{2}
[/mm]
Da es kleiner als 1 ist konvergiert diese Folge und zwar absolut.
Grenzwert schwanke ich noch zwischen [mm] \bruch{19}{3} [/mm] und [mm] \bruch{20}{3}
[/mm]
bei c)
verstehe ich die Umformung nicht so ganz.
das ist doch nicht gleich oder? [mm] \summe \bruch{(n+1)(n+2)}{n^2}
[/mm]
Wenn ich die eigentliche Reihe nen wert ausrechne, ist der kleiner als bei der Umformung. Oder geht das wieder so ähnlich wie in der 1?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Di 31.05.2005 | | Autor: | terrier |
du musst nur (n-1)(n+2) ausmultiplizieren,das dann gleich [mm] n^2 [/mm] + n -2,wenn du dann den bruch auseinanderziehst, steht da 1 + 1/n - [mm] 2/n^2, [/mm] und das ist sicher irgenwann grösser als einsalso kannst du durch eins abschätzen, und somit divergiert die reihe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Di 31.05.2005 | | Autor: | Becks |
Welches Kriterium wäre das dann bei der c)?
Man hat ja Quotienten, Wurzel, Majorante und Minorante oder?
also die divergiert dann und das heißt wiederum, dass es keinen Grenzwert gibt? stimmt das? :)
Und bei Aufgabe a), b) der Grenzwert, muss man den ausrechnen und einfach hinschreiben so geschätzt oder gibt es da Umformungen, sodass man sagt, das geht gegen 0, das auch, also ist der grenzwert bei 0,75 oder sowas in der Richtung?
Weil ich habe ja nicht immer nen PC der mir den Grenzwert berechnet.
Vielen Dank für eure Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Di 31.05.2005 | | Autor: | terrier |
also die reihe die du durch [mm] 1/n^2 [/mm] abgeschätzt hast konvergiert gegen die geometrische reihe,mein ich zumindest, und somit gegen [mm] (pi)^2/6,das [/mm] kriterium in c ist minorantenkriterium (glaub ich),vielleicht auch andersrum angewandt,da du durch eine kleinere reihe ,die divergent ist abschätzt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Di 31.05.2005 | | Autor: | terrier |
vielleicht ist mein argument mit der geometrischen reihe ja falsch,aber ich hab das immer so verstanden,das die reihe gegen den wert der reihe konvergiert,mit der man abschätzt.vielleicht kann mir jemand diese frage beantworten,da meine antwort ja sonst falsch ist ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:42 Mi 01.06.2005 | | Autor: | banachella |
Hallo terrier!
In der Tat muss der Grenzwert der Reihe, die abgeschätzt wird, nicht gleich dem der Reihe sein, mit der du abschätzt. Ein kleines Beispiel:
Sei $0<q<1$. Dann ist [mm] $q^n\le 2q^n$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN_0$. [/mm] Damit gilt:
[mm] $\summe_{n=0}^\infty q^n\le \summe_{n=0}^\infty 2q^n=\bruch{2}{1-q}$.
[/mm]
Nach deinem Argument müsste also [mm] $\summe_{n=0}^\infty q^n=\bruch{2}{1-q}$... [/mm] Aber eigentlich ist [mm] $\summe_{n=0}^\infty q^n=\bruch{1}{1-q}$...
[/mm]
Gruß, banachella
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Hallo!
Bei c) wird tatsächlich das Minorantenkriterium angewandt, also
[mm] $b_n\le a_n$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$, $\summe b_n=\infty$ $\Longrightarrow$ $\summe a_n=\infty$.
[/mm]
Wegen dem Grenzwert von b): Wenn du mit der Summation bei $0$ anfängst, bekommst du das Ergebnis [mm] $\bruch{20}{3}$. [/mm] Wenn du bei 1 anfängst - so wie du es bei deiner ersten Frage geschrieben hast - kommst du auf [mm] $\bruch [/mm] 83$.
Nun zum Grenzwert von a). Es gilt:
[mm] $\summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n(n+2)}=\summe_{n=1}^\infty \bruch 12\left(\bruch 1n-\bruch 1{n+2}\right)=\bruch 12\left[\summe_{n=1}^\infty\left( \bruch 1{2n}-\bruch 1{2(n+1)}\right)+\summe_{n=1}^\infty\left( \bruch 1{2n-1}-\bruch 1{2n+1}\right)\right]$.
[/mm]
Dabei kannst du die Reihe auseinander nehmen, weil sie absolut konvergiert.
Bei einer Teleskopsumme gilt: [mm] $\summe_{n=1}^\infty (a_n-a_{n+1})=a_1$, [/mm] falls [mm] $a_n\to [/mm] 0$.
Also gilt hier:
[mm] $\summe_{n=1}^\infty\left( \bruch 1{2n}-\bruch 1{2(n+1)}\right)=\bruch [/mm] 12$ und
[mm] $\summe_{n=1}^\infty\left( \bruch 1{2n-1}-\bruch 1{2n+1}\right)=1$.
[/mm]
Wenn du das jetzt zusammensetzt, kommst du darauf, dass die Reihe den Wert [mm] $\bruch [/mm] 34$ hat...
Gruß, banachella
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