Unendliche Produkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | 1. Zeigen Sie, dass [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}x^{n} [/mm] = x/(1-x)$. Was ist der Konvergenzradius der Reihe?
2. Zeigen Sie, dass $|log(1+x)| [mm] \le [/mm] 2|x|$ für alle $x [mm] \in [-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}]$. [/mm]
Hinweis: Betrachten Sie die Potenzreihe für $log(1+x)$, und vergleichen Sie diese mit der Reihe aus Teil 1.
3. Die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}|a_{n}|$ [/mm] konvergiere. Sei [mm] $p_{N} [/mm] = [mm] \produkt_{n=1}^{N}(1+a_{n}) [/mm] = [mm] (1+a_{1})(1+a_{2})...(1+a_{N})$.
[/mm]
Zeigen Sie, dass der Grenzwert [mm] $lim_{N \rightarrow \infty} p_{N}$ [/mm] existiert. Hinweis: Führen Sie das Problem mittels log (x) auf eine unendliche Reihe zurück. Zeigen Sie, dass es ein M gibt, sodass [mm] $|a_{k}| \le \bruch{1}{2}$ [/mm] für alle k [mm] \ge [/mm] M. Bemerkung: Diesen Grenzwert nennt man auch das unendliche Produkt. [mm] \produkt_{n=1}^{\infty}(1+a_{n}):= lim_{N \rightarrow \infty} p_{N}$.
[/mm]
4. Sei $q [mm] \in \IR$ [/mm] mit $|q| < 1$. Zeigen Sie, dass [mm] $\produkt_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})$ [/mm] existiert. |
Den ersten Teil habe ich bereits gelöst:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}x^{n} [/mm] = [mm] \bruch{x}{1-x}$ [/mm] wir dividieren durch x und erhalten:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}x^{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x}$ [/mm] und mit Indexverschiebung erhalten wir die geometrische Reihe und die Behauptung ist bewiesen. Da wir bei der geometrischen Reihe nur |x| < 1 einsetzen dürfen ist der Konvergenzradius 1. Reicht das als Beweis für den Konvergenzradius?
Beim Zweiten Teil hab ich die Potenzreihenentwicklung soweit fertig, komme aber nicht auf den Beweis der Ungleichung:
$log (x) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \bruch{x^{n}}{n}$ [/mm] für |x|<1.
Also gilt: $|log(x+1)|= [mm] |\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \bruch{x^{n}}{n}| \le \summe_{n=1}^{\infty}|(-1)^{n+1} \bruch{x^{n}}{n}| [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{|x|^{n}}{n}
[/mm]
Jetzt muss ich nur noch zeigen dass dies kleiner gleich 2|x| ist (für alle $x [mm] \in [/mm] [-0,5;0,5]$) aber wie geht das?
Für die anderen Teile bräuchte ich auch ein paar Tipps...
Vielen Dank schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Di 01.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> 1. Zeigen Sie, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty}x^{n} = x/(1-x)[/mm].
> Was ist der Konvergenzradius der Reihe?
>
> 2. Zeigen Sie, dass [mm]|log(1+x)| \le 2|x|[/mm] für alle [mm]x \in [-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}][/mm].
> Hinweis: Betrachten Sie die Potenzreihe für [mm]log(1+x)[/mm], und
> vergleichen Sie diese mit der Reihe aus Teil 1.
>
> 3. Die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|a_{n}|[/mm] konvergiere. Sei
> [mm]p_{N} = \produkt_{n=1}^{N}(1+a_{n}) = (1+a_{1})(1+a_{2})...(1+a_{N})[/mm].
>
> Zeigen Sie, dass der Grenzwert [mm]$lim_{N \rightarrow \infty} p_{N}$[/mm]
> existiert. Hinweis: Führen Sie das Problem mittels log (x)
> auf eine unendliche Reihe zurück. Zeigen Sie, dass es ein
> M gibt, sodass [mm]$|a_{k}| \le \bruch{1}{2}$[/mm] für alle k [mm]\ge[/mm]
> M. Bemerkung: Diesen Grenzwert nennt man auch das
> unendliche Produkt. [mm]\produkt_{n=1}^{\infty}(1+a_{n}):= lim_{N \rightarrow \infty} p_{N}$.[/mm]
>
> 4. Sei [mm]q \in \IR[/mm] mit [mm]|q| < 1[/mm]. Zeigen Sie, dass
> [mm]\produkt_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})[/mm] existiert.
> Den ersten Teil habe ich bereits gelöst:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}x^{n} = \bruch{x}{1-x}[/mm] wir dividieren
> durch x und erhalten:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}x^{n-1} = \bruch{1}{1-x}[/mm] und mit
> Indexverschiebung erhalten wir die geometrische Reihe und
> die Behauptung ist bewiesen. Da wir bei der geometrischen
> Reihe nur |x| < 1 einsetzen dürfen ist der
> Konvergenzradius 1. Reicht das als Beweis für den
> Konvergenzradius?
Vorsicht ! Du bist folgendermaßen vorgegangen: Du hast das, was Du zeigen sollst hergenommen, nämlich $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}x^{n} [/mm] = [mm] \bruch{x}{1-x} [/mm] $ und hast daraus die Summenformel für die geometrische Reihe erhalten . Das ist kein Beweis !!!
Geh umgekehrt vor: zeige, dass aus $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}x^{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] $ folgt: $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}x^{n} [/mm] = [mm] \bruch{x}{1-x} [/mm] $ (|x|<1)
Mit dem Wurzelkriterium erhälst Du den Konvergenzradius
>
> Beim Zweiten Teil hab ich die Potenzreihenentwicklung
> soweit fertig, komme aber nicht auf den Beweis der
> Ungleichung:
>
> [mm]log (x) = \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \bruch{x^{n}}{n}[/mm]
Richtig: [mm]log (x+1) = \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \bruch{x^{n}}{n}[/mm]
> für |x|<1.
> Also gilt: $|log(x+1)|= [mm]|\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \bruch{x^{n}}{n}| \le \summe_{n=1}^{\infty}|(-1)^{n+1} \bruch{x^{n}}{n}|[/mm]
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{|x|^{n}}{n}[/mm]
> Jetzt muss ich nur noch zeigen dass dies kleiner gleich
> 2|x| ist (für alle [mm]x \in [-0,5;0,5][/mm]) aber wie geht das?
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{|x|^{n}}{n} \le \summe_{n=1}^{\infty}|x|^{n}= \bruch{|x|}{1-|x|} [/mm] $ (nach 1.)
Nun überzeuge Dich davon, dass [mm] $\bruch{|x|}{1-|x|}\le [/mm] 2|x|$ für $|x| [mm] \le [/mm] 1/2$
> Für die anderen Teile bräuchte ich auch ein paar
> Tipps...
Für 3. hast Du doch einen wunderbaren Hinweis !!!
4. folgt sofort aus 3.
FRED
> Vielen Dank schonmal!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Di 01.06.2010 | | Autor: | musesician |
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}x^{n} = \bruch{x}{1-x}[/mm] wir dividieren
> > durch x und erhalten:
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}x^{n-1} = \bruch{1}{1-x}[/mm] und mit
> > Indexverschiebung erhalten wir die geometrische Reihe und
> > die Behauptung ist bewiesen. Da wir bei der geometrischen
> > Reihe nur |x| < 1 einsetzen dürfen ist der
> > Konvergenzradius 1. Reicht das als Beweis für den
> > Konvergenzradius?
>
> Vorsicht ! Du bist folgendermaßen vorgegangen: Du hast
> das, was Du zeigen sollst hergenommen, nämlich
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}x^{n} = \bruch{x}{1-x}[/mm] und hast daraus
> die Summenformel für die geometrische Reihe erhalten . Das
> ist kein Beweis !!!
>
> Geh umgekehrt vor: zeige, dass aus
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}x^{n-1} = \bruch{1}{1-x}[/mm] folgt:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}x^{n} = \bruch{x}{1-x}[/mm] (|x|<1)
>
> Mit dem Wurzelkriterium erhälst Du den Konvergenzradius
>
Ja Danke, du hast natürlich recht, ich habs einfach falsch aufgeschrieben.
Ok, dann mach ich das nochmal mit dem Wurzelkriterium, ist einleuchtend.
>
>
>
> >
> > Beim Zweiten Teil hab ich die Potenzreihenentwicklung
> > soweit fertig, komme aber nicht auf den Beweis der
> > Ungleichung:
> >
> > [mm]log (x) = \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \bruch{x^{n}}{n}[/mm]
>
>
> Richtig: [mm]log (x+1) = \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \bruch{x^{n}}{n}[/mm]
>
Ja stimmt. Danke für die Korrektur, war ein Tippfehler.
>
> > für |x|<1.
> > Also gilt: $|log(x+1)|=
> [mm]|\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \bruch{x^{n}}{n}| \le \summe_{n=1}^{\infty}|(-1)^{n+1} \bruch{x^{n}}{n}|[/mm]
> > = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{|x|^{n}}{n}[/mm]
> > Jetzt muss ich nur noch zeigen dass dies kleiner gleich
> > 2|x| ist (für alle [mm]x \in [-0,5;0,5][/mm]) aber wie geht das?
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{|x|^{n}}{n} \le \summe_{n=1}^{\infty}|x|^{n} [/mm]
Ach ok an diese Ungleichung hab ich auch schon gedacht, aber auf die Zweite kam ich nicht.
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|x|^{n}= \bruch{|x|}{1-|x|}[/mm]
> (nach 1.)
>
Ah ok einfach das erste benutzen, klar.
>
> Nun überzeuge Dich davon, dass [mm]\bruch{|x|}{1-|x|}\le 2|x|[/mm]
> für [mm]|x| \le 1/2[/mm]
>
Ja das ist mir jetzt klar.
>
>
> Für 3. hast Du doch einen wunderbaren Hinweis !!!
>
> 4. folgt sofort aus 3.
>
> FRED
So ich mache erstmal Schluss für heute und werde mir die Hinweise nochmal genau angucken. Ich danke Dir!
LG musesician
|
|
|
| |
|
Da die Summe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} |a_{n}|$ [/mm] konvergiert, gilt ja
[mm] $lim_{n \rightarrow \infty} |a_{n}|=0$ [/mm] also gilt auch [mm] $lim_{n \rightarrow \infty} [/mm] (1 + [mm] a_{n}) [/mm] = 1$. Das heißt quasi ich nehme im Grenzfall nur noch mal 1. Oder anders ausgedrückt: [mm] $(1+a_{n}) \ge (1+a_{n+1})$.
[/mm]
Aber ich weiß nicht, wie ich das mit log(x) auf eine unendliche Reihe zurückführen soll.
Ist hier $log(1+x) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \bruch{x^{n}}{n}$ [/mm] aus Aufgabenteil 2 gemeint?
Oder ist die allgemeinere Potenzreihe [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{n}$ [/mm] hier nützlich?
Ich hab hier keine Idee...auch der Hinweis hilft im Moment nicht weiter.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Fr 04.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Da die Summe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} |a_{n}|[/mm] konvergiert,
> gilt ja
> [mm]lim_{n \rightarrow \infty} |a_{n}|=0[/mm] also gilt auch [mm]lim_{n \rightarrow \infty} (1 + a_{n}) = 1[/mm].
> Das heißt quasi ich nehme im Grenzfall nur noch mal 1.
> Oder anders ausgedrückt: [mm](1+a_{n}) \ge (1+a_{n+1})[/mm].
> Aber
> ich weiß nicht, wie ich das mit log(x) auf eine unendliche
> Reihe zurückführen soll.
> Ist hier [mm]log(1+x) = \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \bruch{x^{n}}{n}[/mm]
> aus Aufgabenteil 2 gemeint?
>
> Oder ist die allgemeinere Potenzreihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{n}[/mm]
> hier nützlich?
>
> Ich hab hier keine Idee...auch der Hinweis hilft im Moment
> nicht weiter.
Du mußt doch nur zusammenbauen was Du hast !!!
1. Da [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge ist, ex ein M mit [mm] |a_k| \le [/mm] 1/2 für k [mm] \ge [/mm] M
2. Aus dem 2. Teil erhalten wir dann : [mm] $|log(1+a_n)| \le 2|a_n| [/mm] für n [mm] \ge [/mm] M
3. Es ist [mm] $logp_N= \summe_{n=1}^{N}log(1+a_n)
[/mm]
4. aus 3.: [mm] (logp_N) [/mm] konvergiert [mm] \gdw \summe_{n=1}^{\infty}log(1+a_n) [/mm] konvergiert.
5. Zeige mit 2. und dem Majorantenkrit. , dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}log(1+a_n) [/mm] konvergiert.
6. aus 4. folgt: [mm] (logp_N) [/mm] konvergiert.
7. Warum konvergiert nun [mm] (p_N) [/mm] ??
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Fr 04.06.2010 | | Autor: | wolle58 |
Hey,
danke für die Antwort, doch ich habe noch ein Problem mit dem Majorantenkriterium.
Wenn ich die konvergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] log [mm] (1+a_n) [/mm] zeigen will, dann muss ich doch eine Reihe finden die [mm] \ge [/mm] dieser ist die in dem Bereich konvergent ist, dann ist auch die Reihe konvergent oder?
Aber wie bestimme ich eine Folge die zu log [mm] (1+a_n) [/mm] kleiner ist und konvergiert?
|
|
|
| |
|
> Hey,
> danke für die Antwort, doch ich habe noch ein Problem mit
> dem Majorantenkriterium.
>
> Wenn ich die konvergenz von [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] log
> [mm](1+a_n)[/mm] zeigen will, dann muss ich doch eine Reihe finden
> die [mm]\ge[/mm] dieser ist die in dem Bereich konvergent ist, dann
> ist auch die Reihe konvergent oder?
> Aber wie bestimme ich eine Folge die zu log [mm](1+a_n)[/mm]
> kleiner ist und konvergiert?
Du musst eine Reihe [mm] $\summe b_{n}$ [/mm] finden, für die gilt:
[mm] $b_{N} \ge |a_{n}|$ [/mm] ab einem bestimmten Glied n, oder [mm] $\summe b_{n} \ge \summe a_{n}$, [/mm] dann gilt:
[mm] $\summe b_{n}$ [/mm] konvergiert [mm] \Rightarrow \summe a_{n}$ [/mm] konvergiert.
Naja du hast doch in Teil 2 gezeigt, dass
$|log(1+x)| [mm] \le [/mm] 2|x|$ für $|x| [mm] \le \bruch{1}{2}$ [/mm]
und dein [mm] $|a_{n}|$ [/mm] ist doch ab einem bestimmten Glied [mm] $|a_{N}|$ [/mm] kleiner gleich [mm] $\bruch{1}{2}$, [/mm]
(da nach Vorraussetzung gilt, dass [mm] $lim_{n \rightarrow \infty} |a_{n}| [/mm] = 0$).
Also gilt [mm] $|log(1+a_{n})| \le 2|a_{n}|$.
[/mm]
Vielleicht hilft dir das weiter.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:22 Fr 04.06.2010 | | Autor: | wolle58 |
Ich komme bei drei genau so nicht weiter wäre super wenn jemand nochmal helfen könnte!
vielen dank
|
|
|
|
