Unendlich oft stetig diff'bar < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen sie, dass durch [mm] f(x)=\begin{cases} exp(\bruch{-1}{1-|x|^2}), & \mbox{für } |x|<1 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] eine Funktion f [mm] \in C_{0}^{\infty}(\IR^n) [/mm] definiert ist. |
Hi!
Also ich hänge bei obiger Aufgabe fest. Der kompakte Träger war kein Problem, aber wie leite ich diese Funktion ab?
Hinweise waren, den Differenzenquotienten aufzuschreiben und dass |x| wegen [mm] \IR^n [/mm] wohl sowas wie die euklidische Norm ist... Aber irgendwie laufe ich damit nur in Sackgassen.
Der Differenzenquotient wäre ja [mm] \bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] und das wäre im Fall |x|<1 also [mm] \bruch{exp(\bruch{-1}{1-|x+h|^2})-exp(\bruch{-1}{1-|x|^2})}{h}. [/mm] Und dann die euklidische Norm auszuschreiben macht es nur noch unübersichtlicher, bringt mich aber nicht weiter.
Irgendwo habe ich ein schrecklich dickes Brett vorm Kopf... Bin ich auf dem richtigen Weg und übersehe bloß wo es weitergeht? Oder bin ich prinzipiell schon auf dem vollkommen falschen Weg?
Gruß,
die Prinzessin
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Hallo,
du musst du Differenzierbarkeit doch nur für x=0 beweisen. Außerhalb von Null ist es doch klar, dass die Funktion unendlich oft diffbar ist.
Gruß Patrick
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:52 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Prinzessin04 |
Hi!
Danke für die Antwort! Wieso ist das außerhalb der Null klar? Wegen der e-Funktion?
Und hast du auch eine Idee zur Stetigkeit? Da brauche ich doch die Ableitung, oder? Weil ich muss ja auch zeigen, dass die 1., 2., usw Abl. stetig ist...
Gruß,
die Prinzessin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo,
>
> du musst du Differenzierbarkeit doch nur für x=0 beweisen.
> Außerhalb von Null ist es doch klar, dass die Funktion
> unendlich oft diffbar ist.
Das stimmt aber nicht wirklich, oder? Wieso $x=0$?
>
> Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Mo 16.11.2009 | | Autor: | XPatrickX |
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> Das stimmt aber nicht wirklich, oder? Wieso [mm]x=0[/mm]?
>
Ich meinte natürlich |x|=1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
dass die Funktion $f$ für $|x|<1$ (bzw. [mm] $|x|\geqslant [/mm] 1$) beliebig oft stetig differenzierbar ist, dürftest Du hoffentlich einsehen. Um die Hauptaussage zu zeigen, benötigst Du jedoch noch, dass $f$ (und alle (!) Ableitungen von $f$) in $|x|=1$ stetig fortsetzbar ist. D.h. es bleibt zu zeigen, dass $f$ in jedem Punkt [mm] $x\in\IR^n$ [/mm] mit $|x|=1$ stetig ist!
Gruß Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> dass die Funktion [mm]f[/mm] für [mm]|x|<1[/mm] (bzw. [mm]|x|\geqslant 1[/mm])
> beliebig oft stetig differenzierbar ist, dürftest Du
> hoffentlich einsehen. Um die Hauptaussage zu zeigen,
> benötigst Du jedoch noch, dass [mm]f[/mm] (und alle (!) Ableitungen
> von [mm]f[/mm]) in [mm]|x|=1[/mm] stetig fortsetzbar ist.
das macht keinen Sinn, hier von Fortsetzbarkeit zu sprechen. Die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] ist auf [mm] $\IR^n$ [/mm] definiert, die Ableitungen werden auch auf [mm] $\IR^n$ [/mm] definiert sein. Für alle $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] mit $|x|=1$ ist die Differenzierbarkeit nur nicht offensichtlich (an anderen Stellen ergibt sich die Diff'barkeit von [mm] $f\,$ [/mm] wegen gewisser Kenntnisse, die man über Verkettungen etc. von diff'baren Funktionen hat, wobei man dann aber z.B. - je nach Formulierung - eigentlich gewisse Einschränkungen der Funktion [mm] $f\,$ [/mm] betrachtet).
> D.h. es bleibt zu
> zeigen, dass [mm]f[/mm] in jedem Punkt [mm]x\in\IR^n[/mm] mit [mm]|x|=1[/mm] stetig
> ist!
Das ist zu wenig. Sie muss schon mit Diff'barkeit arbeiten. Würde sie nur zeigen, dass [mm] $f\,$ [/mm] an allen [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x|=1$ stetig ist, so wäre die Differenzierbarkeit von [mm] $f\,$ [/mm] an diesen Stellen noch nicht klar. Nur umgekehrt gilt es:
Wenn gezeigt ist, dass [mm] $f\,$ [/mm] an allen Stellen [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x|=1$ diff'bar ist, dann ist [mm] $f\,$ [/mm] auch an allen solchen Stellen stetig.
@ Prinzessin:
Deine Formel mit dem Diff'quotienten finde ich übrigens unpassend, denn man teilt sicher nicht durch einen Vektor $h [mm] \in \IR^n\,.$ [/mm] Schau' vielleicht nochmal ![[]](/images/popup.gif) hier nach, was da eher gemeint ist (Stichwort: Fréchet-Ableitung).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Marcel,
es kann durchaus sein, dass ich mich hier vertan habe. Ich danke Dir vielmals für den Hinweis.
Gruß Denny
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen sie, dass durch [mm]f(x)=\begin{cases} exp(\bruch{-1}{1-|x|^2}), & \mbox{für } |x|<1 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
> eine Funktion f [mm]\in C_{0}^{\infty}(\IR^n)[/mm] definiert ist.
> Hi!
>
> Also ich hänge bei obiger Aufgabe fest. Der kompakte
> Träger war kein Problem, aber wie leite ich diese Funktion
> ab?
> Hinweise waren, den Differenzenquotienten aufzuschreiben
> und dass |x| wegen [mm]\IR^n[/mm] wohl sowas wie die euklidische
> Norm ist... Aber irgendwie laufe ich damit nur in
> Sackgassen.
>
> Der Differenzenquotient wäre ja [mm]\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm] und
> das wäre im Fall |x|<1 also
> [mm]\bruch{exp(\bruch{-1}{1-|x+h|^2})-exp(\bruch{-1}{1-|x|^2})}{h}.[/mm]
macht das denn überhaupt Sinn? Ich habe Dir gerade hier etwas dazu geschrieben. Wie gehst Du denn mit Ausdrücken der Form [mm] $\frac{1}{h}$ [/mm] für $h [mm] \in \IR^n$ [/mm] um?
Vielleicht kannst Du das ganze ja erstmal für [mm] $n=1\,$ [/mm] durchrechnen. Allgemeiner wäre hier aber wohl eher sowas wie die Fréchet-Ableitung relevant. Wie habt ihr denn bisher Ableitungen von Funktionen, die auf (Teilmengen des) [mm] $\IR^n$ [/mm] definiert sind, überhaupt eingeführt?
Gruß,
Marcel
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