Unendl. viele Primzahlen mod 8 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:49 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Amande |
| Aufgabe | | Es gibt unendliche viele Primzahlen p [mm] \equiv [/mm] 7 (mod 8). |
Hallo zusammen :)
Ich bin gerade dabei, diese Aussage zu beweisen und komm nicht weiter.
Analog zum Beweis von Euklid, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, möchte ich das auch mit einem Widerspruchsbeweis machen.
Und zwar siehts bisher so aus:
Annahme:
P = [mm] \{p \in \IP | p \equiv 7 (mod 8)\} [/mm] ist endlich.
Also: P = [mm] \{q_{1},q_{2},...,q_{n}\} [/mm] mit n aus [mm] \IN [/mm] geeignet.
Betrachte nun p = 8 [mm] \produkt_{i=1}^{n} q_{i} [/mm] - 1
Dann ist p [mm] \equiv [/mm] 7 (mod 8) und ungerade.
Daraus folgt, dass p einen ungeraden Primteiler q besitzt.
Ich kann jetzt ausschließen, dass eines der [mm] q_{k}'s [/mm] p teilt.
Annahme: [mm] q_{k} [/mm] teilt p.
[mm] q_{k} [/mm] teilt aber auch 8 [mm] \produkt_{i=1}^{n} q_{i}
[/mm]
=> [mm] q_{k} [/mm] teilt 1, was ein Widerspruch ist
Wie beweis ich jetzt noch, dass es 3 und 5 nicht sein können?
Eine kleiner Gedankenanstoß wäre sehr hilfreich :)
Vielen Dank schon im Voraus!
Mandy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 So 27.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Mandy
> Betrachte nun p = 8 [mm]\produkt_{i=1}^{n} q_{i}[/mm] - 1
> Dann ist p [mm]\equiv[/mm] 7 (mod 8) und ungerade.
>
> [...]
>
> Wie beweis ich jetzt noch, dass es 3 und 5 nicht sein
> können?
Betrachte doch $p = 8 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 5 [mm] \cdot \prod_{i=1}^n q_i [/mm] - 1$. Dann ist $p$ garantiert nicht durch 3 und 5 teilbar, und es gilt immer noch $p [mm] \equiv [/mm] 7 [mm] \pmod{8}$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 30.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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