Unend. VR / Basiswechsel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Sei V ein unendlich dim. VR über einem Körper K.
Ich hätte nun folgende Fragen:
-Stellen im unendlichen dim. Fall Basiswechsel-Abbildungen noch Automorphismen dar?
-Wenn nein, führt mich dies zu folgender Frage:
Kann es dann sein, dass bei unendlichen dim. VR ein Abbildung
[mm] \alpha [/mm] : V [mm] \mapsto [/mm] V bezüglich. einer bestimmten Basis B ein Isomorphismus (also Automorphismus) ist, und bezüglich einer anderen Basis B' nicht (bzw. sogar kein Homomorphismus)
Im endl. dimensionalen Fall ist dies ja ausgeschlossen, da Basiwechsel ja auch Isomorphismen sind und somit (durch Verkettung von [mm] \alpha [/mm] mit der entsprechenden Basiswechsel-Abbildung) die Isomorphie-Eigenschaft eines beliebigen Homorphismus (wie auch die Homomorphie-Eigenschaft einer beliebigen Abbildung) basisunabhängig ist.
Danke für alle Antworten,
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 So 20.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Sei V ein unendlich dim. VR über einem Körper K.
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> Ich hätte nun folgende Fragen:
> -Stellen im unendlichen dim. Fall Basiswechsel-Abbildungen
> noch Automorphismen dar?
was verstehst du denn im unendlichdimensionalen fall unter basiswechsel? laut ![[]](/images/popup.gif) wikipedia ist das ja erstmal nur für endlichdimensionale vektorräume definiert. ich könnte mir das so vorstellen: sind [mm] $B=(b_i)$ [/mm] und $B' = [mm] (b_k')$ [/mm] zwei basen von $V$, so ist der "basiswechsel" von $B$ nach $B'$ die abbidung [mm] $b_i \longmapsto \sum_k \lambda_{i, k} b_k'$ [/mm] (wobei die hintere summe die darstellung von [mm] $b_i$ [/mm] in der basis $B'$ ist - insbesondere also eine endliche summe) mit linearer ausdehnung. damit ist die abbildung ja schon automatisch ein homomorphismus. entsprechend müsste sich eine abbildung in die andere richtung konstruieren lassen und mit der eindeutigkeit der darstellung bezüglich einer basis zeigen lassen, dass die abbildungen invers zueinander sind.
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 So 20.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Sei V ein unendlich dim. VR über einem Körper K.
> >
> > Ich hätte nun folgende Fragen:
> > -Stellen im unendlichen dim. Fall
> Basiswechsel-Abbildungen
> > noch Automorphismen dar?
>
> was verstehst du denn im unendlichdimensionalen fall unter
> basiswechsel? laut
> wikipedia
> ist das ja erstmal nur für endlichdimensionale vektorräume
> definiert.
Vorsicht! Nur weil bei Wikipedia (oder sonstwo) nur der endlichdimensionale Fall angeschaut wird, heisst das noch lange nicht, dass sowas fuer den unendlichdimensionalen Fall nicht definiert ist!
> ich könnte mir das so vorstellen: sind [mm]B=(b_i)[/mm]
> und [mm]B' = (b_k')[/mm] zwei basen von [mm]V[/mm], so ist der "basiswechsel"
> von [mm]B[/mm] nach [mm]B'[/mm] die abbidung [mm]b_i \longmapsto \sum_k \lambda_{i, k} b_k'[/mm]
> (wobei die hintere summe die darstellung von [mm]b_i[/mm] in der
> basis [mm]B'[/mm] ist - insbesondere also eine endliche summe) mit
> linearer ausdehnung.
Genau.
> damit ist die abbildung ja schon
> automatisch ein homomorphismus. entsprechend müsste sich
> eine abbildung in die andere richtung konstruieren lassen
> und mit der eindeutigkeit der darstellung bezüglich einer
> basis zeigen lassen, dass die abbildungen invers zueinander
> sind.
Ja.
Im unendlichdimensionalen Fall geht ziemlich viel genauso wie im endlichdimensionalen Fall, man muss nur mit Matrizen aufpassen damit keine Summen mit unendlich vielen Summanden [mm] $\neq [/mm] 0$ auftreten und das man nicht irgendwo ein Argument verwendet, welches die Endlichdimensionalitaet benoetigt (etwa das ein Endomorphismus genau dann injektiv ist, wenn er surjektiv ist, was genau dann der Fall ist, wenn es ein Automorphismus ist -- das gilt im unendlichdimensionalen nicht, wie etwa Links- und Rechtsshift zeigen!).
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 So 20.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Vorsicht! Nur weil bei Wikipedia (oder sonstwo) nur der
> endlichdimensionale Fall angeschaut wird, heisst das noch
> lange nicht, dass sowas fuer den unendlichdimensionalen
> Fall nicht definiert ist!
das sollte das auch nicht heißen. wollte damit nur unterstreichen, dass das folgende nur meine interpretation der sache ist, da ich den ausdruck noch nie im zusammenhang mit unendlichdimensionalen vektorräumen gehört hatte und auf die schnelle auch keine definition gefunden habe 
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 So 20.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Andreas,
> > Vorsicht! Nur weil bei Wikipedia (oder sonstwo) nur der
> > endlichdimensionale Fall angeschaut wird, heisst das noch
> > lange nicht, dass sowas fuer den unendlichdimensionalen
> > Fall nicht definiert ist!
>
> das sollte das auch nicht heißen. wollte damit nur
> unterstreichen, dass das folgende nur meine interpretation
> der sache ist, da ich den ausdruck noch nie im zusammenhang
> mit unendlichdimensionalen vektorräumen gehört hatte und
> auf die schnelle auch keine definition gefunden habe
ok, ist ja auch kein Problem :) Ich dachte ich schreib das lieber nochmal dazu um es eindeutig zu machen ;)
LG Felix
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