Uneigtl.Stellen u. Konvergenz < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Ich betrachte folgendes Beispiel:
Man gebe die Uneigentlichkeitsstellen des nachstehenden Integrals an( falls diese existieren) und untersuche es auf Konvergens
[mm]\integral_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\Pi}{2}}{\frac{Sin(x)}{(Tan^{2}(x)+3)*Cos^{3}(x)} dx}[/mm]
Man erkennt die Integrationsgrenzen schlecht so heißen von -Pi/2 bis Pi/2
Behauptung 1:
Es sind sowohl [mm]\frac{-\Pi}{2}[/mm] als auch [mm]\frac{\Pi}{2}[/mm]
Uneigentlichkeitsstellen
ich will dazu [mm] \limes_{x\rightarrow\frac{\Pi}{2}}[/mm] [mm]\frac{Sin(x)}{(Tan^{2}(x)+3)*Cos^{3}(x)[/mm] betrachten (Äquivalent natürlich für - Pi/2 )
[mm] \limes_{x\rightarrow\frac{\Pi}{2}}[/mm] [mm]\frac{Sin(x)}{(Tan^{2}(x)+3)*Cos^{3}(x)[/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\frac{\Pi}{2}}[/mm] [mm]\frac{Sin(x)}{\frac{Sin^{2}(x)*Cos^{2}(x)}{Cos^{2}(x)}+3*Cos^{3}(x)}[/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\frac{\Pi}{2}}[/mm] [mm]\frac{Tan(x)}{Sin^{2}(x)+3*Cos^{2}(x)}[/mm] = [mm]\frac{\infty}{1}[/mm] [mm]\rightarrow\nexists[/mm] bzw. existiert nicht als eigentlicher Grenzwert.
Anmerkung: Regel von l'Hospital hier nicht anzuwenden da nicht eine entsprechende Form wie etwa "0/0" vorliegend ist.
Conclusio: +/- Pi/2 sind Uneigentlichkeitsstellen.
Behauptung 2: Das Integral ist nicht konvergent
[mm]\integral_{0}^{\frac{\Pi}{2}}{\frac{Sin(x)}{(Tan^{2}(x)+3)*Cos^{3}(x)} dx}[/mm] | subst. [mm]Tan^{2}(x)=u[/mm] somit dx = [mm]\frac{du}{2Tan^{2}(x)*(1+u)}|[/mm] wir erhalten also das Integral der Form : [mm]\frac{1}{2}*\integral_{0}^{\infty}{\frac{1}{u+3} du}[/mm]
Das dieses Integral divergent ist sollte klar sein oder würdet ihr das noch weiter ausführen?
Es wäre natürlich gleich im Intervall -Pi/2 bis 0 aufgrund der Symm. der Funktionen.
LG Thomas
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