Uneigentliches Integral sgn(x) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:08 Sa 30.04.2016 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] \bruch{4}{\pi}*\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{sin((2n+1)x)}{2n+1}=sgn(sin(x)) [/mm] |
Um diese Aufgabe zu lösen, kann man die Fourier-Reihe von sgn(sin(x)) bestimmen. Mein Problem damit ist, dass ich für die Integration von [mm] sgn(sin(x))*e^{-inx} [/mm] keine Stammfunktion ermitteln kann (wegen sgn(x)=0 genau dann wenn x=0). Kann man irgendwie argumentieren, dass das integral das selbe ist, wie wenn man sgn durch h ersetzt mit
[mm] h(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \ge 0\mbox{ } \\ -1, & \mbox{für } x <0\mbox{ } \end{cases} [/mm] ?
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Die Funktion [mm]f(x) = \operatorname{sgn} \left( \sin x \right)[/mm] ist ungerade und [mm]2 \pi[/mm]-periodisch. Es genügt daher, die Koeffizienten [mm]b_n[/mm] der Sinusglieder in der Fourier-Entwicklung zu bestimmen. Das ist aber nicht schwer. Für [mm]n \geq 1[/mm] gilt:
[mm]b_n = \frac{1}{\pi} \int \limits_{- \pi}^{\pi} \operatorname{sgn} \left( \sin x \right) \cdot \sin(nx) ~ \mathrm{d}x = \frac{1}{\pi} \left( \int \limits_{- \pi}^0 - \sin(nx) ~ \mathrm{d}x + \int \limits_0^{\pi} \sin(nx) ~ \mathrm{d} x \right) = \ldots[/mm]
[mm]= \frac{2}{\pi n} \left( 1 - (-1)^n \right) = \begin{cases} 0, & n \ \text{gerade} \\ \frac{4}{\pi n}, & n \ \text{ungerade} \end{cases}[/mm]
Und das war zu zeigen.
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