Uneigentliches Integral, Subst < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne das folgende Integral:
[mm] \integral_{-\infty}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{(2-x)^{3}}} dx} [/mm] |
Bitte um Korrektur 
[mm] \integral_{-\infty}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{(2-x)^{3}}} dx} [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{1}{\bruch{1}{(2-x)^{\bruch{3}{2}}} dx}
[/mm]
Subst: u(x) = 2-x
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = -1 <=> dx = -du
u(1) = 1
[mm] u(-\infty) [/mm] -> [mm] \infty
[/mm]
=> - [mm] \integral_{\infty}^{1}{\bruch{1}{u^{\bruch{3}{2}}} dx} [/mm] = - [mm] \integral_{\infty}^{1}{u^{-\bruch{3}{2}} dx} [/mm] = - [mm] [-2u^{-\bruch{1}{2}} ]_{\infty}^{1} [/mm] = [mm] 2[u^{-\bruch{1}{2}} ]_{\infty}^{1} [/mm] = 2(1 - [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{u}}) [/mm] = 2 - 0 = 2
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:15 Sa 17.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
man macht als Mathematiker drei Phasen durch :
1. die Phase, in der man zum ersten Mal mit solchen Integralen zu tun hat, die richtige Methode richtig anwendet, das richtige Ergebnis herausbekommt : toll gemacht.
2. die Phase als Student, in der Korrektoren nach jedem Haar in der Suppe fahnden, um eventuell Punkte für die Lösung abziehen zu können.
3. die Phase als gestandener Mathematiker, in der man Schreibweisen wie "$ [mm] u(-\infty) [/mm] $ -> $ [mm] \infty [/mm] $" großzügig benutzen darf, in der man lange Zeit mit Integralen operiert, deren Grenzen [mm] \infty [/mm] sind (anstatt sofort eine Variable a einzuführen, mit dieser zu arbeiten und ganz zum Schluss den Grenzwert für [mm] a\to \infty [/mm] zu berechnen), weil sich die Schreibweise durch das Ergebnis rechtfertigt.
Entscheide selbst, zu welcher Gruppe du gehörst.
In jedem Fall musst du am Ende gleiche Variablen benutzen und etwa [mm] \limes_{a\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{a}} [/mm] schreiben.
Gruß Sax.
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In erster Linie mache ich diese Aufgaben, weil sie ein Pflichtblock meines Studiums sind. Daher reicht es mir (und den Übungsleitern auch), wenn die Lösungen verständlich vermittelt werden und nicht zu 100% formal korrekt sind. 
Um zur Ausgangsfrage zurückzukommen: Ist das Ergebnis denn korrekt, oder habe ich zwischendrin irgendwo einen Fehler gemacht? (Mal abgesehen vom limes, da sollte natürlich u gegen unendlich laufen...![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]") )
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Hi,
> In erster Linie mache ich diese Aufgaben, weil sie ein
> Pflichtblock meines Studiums sind. Daher reicht es mir (und
> den Übungsleitern auch), wenn die Lösungen verständlich
> vermittelt werden und nicht zu 100% formal korrekt sind.
>
was sind denn das für Übungsleiter?!
> Um zur Ausgangsfrage zurückzukommen: Ist das Ergebnis
> denn korrekt, oder habe ich zwischendrin irgendwo einen
> Fehler gemacht? (Mal abgesehen vom limes, da sollte
> natürlich u gegen unendlich laufen...)
Der Integralwert 2 ist korrekt.
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> was sind denn das für Übungsleiter?!
Auch die haben natürlich ihre Grenzen...![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
> Der Integralwert 2 ist korrekt.
Gut, danke.
> ...in der man Schreibweisen wie "$ [mm] u(-\infty) [/mm] $ -> $ [mm] \infty [/mm] $" großzügig benutzen darf...
heißt das, ich sollte besser [mm] u(-\infty) [/mm] = [mm] \infty [/mm] schreiben? Uns wurde gelehrt, dass es ja eigentlich nicht gleich sein kann, weil unendlich keine Zahl in dem Sinne ist...
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> Berechne das folgende Integral:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{(2-x)^{3}}} dx}[/mm]
>
> Bitte um Korrektur
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{(2-x)^{3}}} dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{-\infty}^{1}{\bruch{1}{(2-x)^{\bruch{3}{2}}} dx}[/mm]
>
> Subst: u(x) = 2-x
>
> [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = -1 <=> dx = -du
>
> u(1) = 1
> [mm]u(-\infty)[/mm] -> [mm]\infty[/mm]
>
> => - [mm]\integral_{\infty}^{1}{\bruch{1}{u^{\bruch{3}{2}}} dx}[/mm]
Hi,
hier sollte dann aber kein $dx$ mehr stehen. Das hast du ja substituiert mit $du$.
> = - [mm]\integral_{\infty}^{1}{u^{-\bruch{3}{2}} dx}[/mm] =
> - [mm][-2u^{-\bruch{1}{2}} ]_{\infty}^{1}[/mm] =
> [mm]2[u^{-\bruch{1}{2}} ]_{\infty}^{1}[/mm] = 2(1 -
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{u}})[/mm] = 2 -
> 0 = 2
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> hier sollte dann aber kein [mm]dx[/mm] mehr stehen. Das hast du ja
> substituiert mit [mm]du[/mm].
Ups stimmt, vom Gehirn/Blatt in den Rechner funktioniert bei mir anscheinend noch nicht so gut
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