Uneigentliches Integral/Limes < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{dx}{x^2*(x+1)}} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{dx}{x^2+2x+2}} [/mm] |
Hallo allerseits!
Ich habe beide Stammf. berchnet kann die Limesbildung aber einfach nicht so ganz nachvollziehen. Könnte mir das bitte jemand erklären?
1.
Stf. [mm] ln(x+1)-ln(x)-\bruch{1}{x}+C
[/mm]
[mm] (\limes_{c\rightarrow\infty}ln(c+1)-lnc-\bruch{1}{c}-ln(2)+ln(1)+1)
[/mm]
Aoweit ich das nachvollziehen kann(auch Derive) sind die 1. 2 Summanden doch divergent, der 3. ist dann eine Nullfolge.Die letzten Summanden sind ja nur zu berechnen, sie sind konvergent.
Doch da einige Summanden bestimmt divergieren, hätte ich mir gedacht, dass die ganze Summe divergiert.Wie ist zu erklären, dass als Limes in meinem Buch 1-ln(2) angegeben ist?![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
2.
STf. arctan(x+1)+C
Hier muss man das Integral doch aufspalten, oder?
[mm] \limes_{c\rightarrow\infty}\integral_{1}^{c}{\bruch{dx}{x^2+2x+2}}+\limes_{c\rightarrow-\infty}\integral_{c}^{1}{\bruch{dx}{x^2+2x+2}}
[/mm]
Also:
[mm] (\limes_{c\rightarrow\infty}arctan(c+1)-arctan(2))+(arctan(2)-\limes_{c\rightarrow\infty}arctan(c+1))
[/mm]
Soweit ich weiß konvergiert der arctan im unendichen gegen [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Aber bei mir heben sich doch [mm] \limes_{c\rightarrow\infty}arctan(c+1) )-\limes_{c\rightarrow\infty}arctan(c+1)) [/mm] wieder auf.Ebenso arctan(2)-arctan(2). Demnach müsste der Limes ja 0 sein?? Laut Ergebniss jedoch [mm] \pi.
[/mm]
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Mi 23.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Angelika
Zu Aufgabe 1.
Forme dazu mal ein wenig um:
$$ [mm] \ln(c+1)-\ln(c)-\bruch{1}{c}-\ln(2)+ln(1)+1 [/mm] $$
$$ [mm] =\ln\left(\bruch{c+1}{c}\right)-\bruch{1}{c}-ln(2)+\overbrace{ln(1)}^{=0}+1 [/mm] $$
$$ [mm] =\ln\left(1+\red{\bruch{1}{c}}\right)\red{-\bruch{1}{c}}-ln(2)+1 [/mm] $$
Die beiden roten Brüche gehen für [mm] c\to\infty [/mm] gegen 0, also ist
$$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left[\ln\left(1+\red{\bruch{1}{c}}\right)\red{-\bruch{1}{c}}-ln(2)+1\right] [/mm] $$
$$ [mm] =\underbrace{\ln(1)}_{=0}-\ln(2)+1 [/mm] $$
$$ [mm] =1-\ln(2) [/mm] $$
Marius
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Danke Marius!
Ich habe nämlich bei Grenzwerten große Defizite, wir haben das Thema in der Schule nämlich nicht so ausführlich durchgenommen.Grenzwertsätze kenne ich, aber ich denke es bedarf auch einer gewissen Erfahrung beim umformen.
Es sollten also möglichst viele Teile der Funktion so umgeformt werden, dass Nullfolgen entstehen.
Gruß
Angelika
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Mi 23.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Angelika
> Danke Marius!
>
> Ich habe nämlich bei Grenzwerten große Defizite, wir haben
> das Thema in der Schule nämlich nicht so ausführlich
> durchgenommen.Grenzwertsätze kenne ich, aber ich denke es
> bedarf auch einer gewissen Erfahrung beim umformen.
Wohl wahr
> Es sollten also möglichst viele Teile der Funktion so
> umgeformt werden, dass Nullfolgen entstehen.
Yep. Oder Folgen mit (woher auch immer) bekanntem Grenzwert.
>
> Gruß
>
> Angelika
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Mi 23.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal.
Bei Aufgabe 2 empfiehlt es sich, die Symmetrieeigenschaft von [mm] f(x)=\bruch{1}{x²+2x+1}=\bruch{1}{(x+1)²} [/mm] zur Gerade [mm] x=\red{-1} [/mm] zu nutzen.
Also:
$$ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{dx}{x^2+2x+2}} [/mm] $$
$$ [mm] =2*\integral_{-1}^{\infty}{\bruch{dx}{x^2+2x+2}} [/mm] $$
Da beide Grenzen immer noch undefiniert sind, bringe mal einen Parameter n ins Spiel
$$ [mm] =2*\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{-1+\bruch{1}{n}}^{n}{\bruch{dx}{x^2+2x+2}} [/mm] $$
$$ [mm] =2*\limes_{n\rightarrow\infty}\left[\arctan(x+1)\right]_{-1+\bruch{1}{n}}^{n} [/mm] $$
$$ [mm] =2*\limes_{n\rightarrow\infty}\left[\arctan(n+1)-\arctan\left(-1+\bruch{1}{n}+1\right)\right] [/mm] $$
$$ [mm] 2*\left[\limes_{n\rightarrow\infty}\arctan(n+1)-\limes_{n\rightarrow\infty}\arctan\left(\overbrace{\bruch{1}{n}}^{\to0}\right)\right] [/mm] $$
$$ [mm] =2*(\limes_{n\rightarrow\infty}\arctan(n+1)-\arctan(0)) [/mm] $$
$$ [mm] =2*\underbrace{\limes_{n\rightarrow\infty}\arctan(n+1)}_{=\bruch{\pi}{2}} [/mm] $$
$$ [mm] =2*\bruch{\pi}{2} [/mm] $$
[mm] $$=\pi [/mm] $$
Marius
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