Uneigentliches Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 So 04.09.2011 | | Autor: | HelpMan |
| Aufgabe | Es ist folgendes Uneigentlliches Integral zu bestimmen:
[mm] \int_{\bruch{1}{3}}^{\infty} \bruch{3}{3x-1} [/mm] dx |
Bin mir nicht ganz sicher, wie ich die Stelle behandeln soll an der, die Funktion nicht Definiert ist also [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \int_{a}^{b} \bruch{3}{3x-1} [/mm] dx = | ln|3x-1| [mm] |_{a}^{b} [/mm]
= ln|3b-1| - ln|3a-1|
= [mm] \lim_{x \to \bruch{1}{3}} [/mm] ln|3x-1| - [mm] \lim_{x \to \infty} [/mm] ln|3x-1|
= ln |0| - [mm] \infty [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
Ist das so richtig?
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Das geht natürlich so nicht, zumal du so gut wie alle Grenzen und Reihenfolgen vertauscht hast, oder?
> Es ist folgendes Uneigentlliches Integral zu bestimmen:
>
> [mm]\int_{\bruch{1}{3}}^{\infty} \bruch{3}{3x-1}[/mm] dx
> Bin mir nicht ganz sicher, wie ich die Stelle behandeln
> soll an der, die Funktion nicht Definiert ist also
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> [mm]\int_{a}^{b} \bruch{3}{3x-1}[/mm] dx = | ln|3x-1| [mm]|_{a}^{b}[/mm]
soweit erstmal korrekt
> = ln|3b-1| - ln|3a-1|
> = [mm]\lim_{x \to \bruch{1}{3}}[/mm] ln|3x-1| - [mm]\lim_{x \to \infty}[/mm]
wieso hast du hier die Ober- und Untergrenze vertauscht? Du sollst doch erst unendlich und dann 1/3 einsetzen.
Außerdem schreibst du als Symbole b und a, woher also plötzlich ein x??
> ln|3x-1|
> = ln |0| - [mm]\infty[/mm] = [mm]-\infty[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Das wäre aber fatal oder ;) ? Wieso 0? Du erreichst den Grenzwert doch nie! Natürlich wäre der Grenzwert für b gegen 1/3 1/3 und damit 1-1 gleich 0, genau das kannst du hier aber nicht einsetzten, weil der ln für das Argument 0 nicht definiert ist! Wie kommst du als auf die haarsträubende Geschichte, dass ln(0) minus irgendetwas [mm] -\infty [/mm] ist??? ln(a) für a gegen 0 wäre doch eher [mm] -\infty [/mm] statt 0 oder etwa nicht? Schreib das ganze nochmal korrekt auf, mit der richtigen Reihenfolge, behalte konkrete Symbole bei (z.B: b und a), schreib den Limes korrekt davor und wende dann die Logarithmengesetze für ln(a)-ln(b) an und dann kommst du vllt einen Schritt weiter ;)
EDIT: Aber unabhängig von all den kleinen Fehlern ist das Ergebnis am Ende dennoch so, dass wir für dieses Integral leider keine Konvergenz feststellen können.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 So 04.09.2011 | | Autor: | HelpMan |
Stimmt die Grenzen hab ich versehentlich vertauscht...
Dachte kann einfach fuer a und b wieder zurueck die Werte von oben einsetzen...
hab jetzt folgendes erstmal raus mit logarithmus gesetzen auch:
[mm] ln|\bruch{3a-1}{3b-1}| [/mm] mit [mm] a=\bruch{1}{3} [/mm] und [mm] b=\infty
[/mm]
jetzt weiss ich nicht weiter...
wenn ich dann erstmal b einsetzen wuerde...
kaeme ja sowas raus
ln [mm] |\bruch{3a-1}{\infty}|
[/mm]
Jetzt weiss ich nur nicht wie ich mit den [mm] \bruch{1}{3} [/mm] fortfahren soll, da ja vorher [mm] \bruch{1}{3} [/mm] nicht im Definitionsbereich lag.
PS: Wenn ich jetzt a Richtung [mm] \bruch{1}{3} [/mm] schicke. Dann strebt der obere ausdruck richtung +0 oder? Aber was ist [mm] \bruch{+0}{\infty} [/mm] ?
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> Stimmt die Grenzen hab ich versehentlich vertauscht...
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> Dachte kann einfach fuer a und b wieder zurueck die Werte
> von oben einsetzen...
>
> hab jetzt folgendes erstmal raus mit logarithmus gesetzen
> auch:
>
> [mm]ln|\bruch{3a-1}{3b-1}|[/mm] mit [mm]a=\bruch{1}{3}[/mm] und [mm]b=\infty[/mm]
>
> jetzt weiss ich nicht weiter...
Hallo,
ich fänd's ganz gut, wenn Du Dir mal in Ruhe klarmachst (=in Deinen Unterlagen nachschlägst), wie ein uneigentliches Integral mit 2 "problematischen" Grenzen [mm] a,b\in \IR\cup\{-\infty,\infty\} [/mm] definiert ist.
Das ist in meinen Augen das Allerwichtigste, was bei dieser Aufgabe zu tun ist.
Nämlich so:
[mm]\integral_a^bf(x)dx=\lim_{t\to a}\integral_t^{x_0}f(x)dx+\lim_{t\to b}\integral_{x_0}^{t}f(x)dx[/mm] für ein [mm] x_0\in(a,b).
[/mm]
Übertragen auf Dein Integral bekommen wir (etwa mit [mm] x_0:=1)
[/mm]
[mm]\integral_{\bruch{1}{3}}^{\infty}\bruch{3}{3x-1}dx[/mm]
[mm]=\lim_{t\to \bruch{1}{3}}\integral_t^{1}\bruch{3}{3x-1}dx+\lim_{t\to \infty}\integral_{1}^{t}\bruch{3}{3x-1}dx[/mm]
[mm]=\lim_{t\to \bruch{1}{3}}[ln|3x-1|]_t^{1}+\lim_{t\to \infty}[ln|3x-1|]_{1}^{t}[/mm]
[mm]=\lim_{t\to \bruch{1}{3}}[ln2-ln|3t-1|]+\lim_{t\to \infty}[ln|3t-1|-ln2][/mm]
[mm]=-\lim_{t\to \bruch{1}{3}}ln|3t-1|+\lim_{t\to \infty}ln|3t-1|[/mm]
= ???
Gruß v. Angela
>
> wenn ich dann erstmal b einsetzen wuerde...
>
> kaeme ja sowas raus
>
> ln [mm]|\bruch{3a-1}{\infty}|[/mm]
>
> Jetzt weiss ich nur nicht wie ich mit den [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> fortfahren soll, da ja vorher [mm]\bruch{1}{3}[/mm] nicht im
> Definitionsbereich lag.
>
> PS: Wenn ich jetzt a Richtung [mm]\bruch{1}{3}[/mm] schicke. Dann
> strebt der obere ausdruck richtung +0 oder? Aber was ist
> [mm]\bruch{+0}{\infty}[/mm] ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 So 04.09.2011 | | Autor: | HelpMan |
ist die Stammfunktion nicht ln|3x-1| ?
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Hallo Helpman,
> ist die Stammfunktion nicht ln|3x-1| ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 So 04.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Es ist folgendes Uneigentlliches Integral zu bestimmen:
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> [mm]\int_{\bruch{1}{3}}^{\infty} \bruch{3}{3x-1}[/mm] dx
> Bin mir nicht ganz sicher, wie ich die Stelle behandeln
> soll an der, die Funktion nicht Definiert ist also
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> [mm]\int_{a}^{b} \bruch{3}{3x-1}[/mm] dx = | ln|3x-1| [mm]|_{a}^{b}[/mm]
> = ln|3b-1| - ln|3a-1|
> = [mm]\lim_{x \to \bruch{1}{3}}[/mm] ln|3x-1| - [mm]\lim_{x \to \infty}[/mm]
> ln|3x-1|
> = ln |0| - [mm]\infty[/mm] = [mm]-\infty[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Hallo,
hier wären zunächst mal einige Vereinfachungen sinnvoll:
Den Term [mm] \bruch{3}{3x-1} [/mm] würde ich zunächst mit 3 kürzen und erhalte
[mm] \bruch{1}{x-\bruch{1}{3}} [/mm]
Somit ergibt sich
$ [mm] \integral_{\bruch{1}{3}}^{\infty}\bruch{3}{3x-1}dx [/mm] = [mm] \integral_{\bruch{1}{3}}^{\infty}\bruch{1}{x-\bruch{1}{3}}dx$
[/mm]
Eine anschließende Substitution [mm] u=x-\bruch{1}{3} [/mm] (Grenzen mitsubstituieren!)
führt zu [mm] \integral_{0}^{\infty}\bruch{1}{u}du,
[/mm]
und damit arbeitet es sich komfortabler (wobei es fast schon Grundwissen ist, dass hier [mm] +\infty [/mm] rauskommt.)
Gruß Abakus
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