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| Aufgabe | Die Funktion f : ]a,b[ [mm] \to \IR [/mm] sei stetig. Dann existiert das uneigentliche Integral [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}, [/mm] wenn f
(a) stetig ist.
(b) beschränkt ist.
(c) stetig und beschränkt ist.
(d) von der Form [mm] \bruch{p}{q} [/mm] ist, wobei p,q Polynomfunktionen auf [a,b] sind, so dass q keine Nullstelle in [a,b] hat. |
Hallo,
ich muss leider noch eine letzte Frage zur Integration stellen.
(a) ist falsch, da f : ]0,1[ [mm] \to \IR [/mm] mit [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] stetig ist und f auch sonst stetig ist, aber [mm] \integral_{0}^{1}{1/x dx} [/mm] nicht existiert.
(b),(c) die Beschränktheit ist eine notwendige Bedingung. Ich weiß aber nicht, ob f selbst auch stetig sein muss.
(d) da bin ich verwirrt und habe keine Idee.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Gruß
Michael
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 So 09.01.2011 | | Autor: | maikel |
Hi,
Ich bin etwas verwirrt, weil in der Aufgabe steht: f sei stetig (nach Voraussetzung)
(b) Wie gesagt steht in den Voraussetzungen stetig drin, aber ich nehme an, das sei ein Fehler. Natürlich kannst auf beschränkten Mengen beschränkte Abbildungen integrieren. Wie zeigt man das, hier ein Hinweis: Womit kann man das Integral kanonisch nach oben hin abschätzen?
(d) Man kann sich davon überzeugen, dass, wenn keine der Polstellen im Intervall liegt, Funktionen dieser Art stetig sind. Auf kompakten Intervallen [a,b] heißt das was? Verwende dann (b) bzw. (c).
HTH, Maikel
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Okay.
Danke für die Hilfe. Ich frage noch einmal wegen den Voraussetzungen nach.
Ich glaube, dass in der Aufgabenstellen f stetig nicht vorausgestzt wird.
Gilt dann, dass (a) falsch ist, wie von mir genannt?
Habe ich richtig verstanden, dass f nur beschränkt und nicht stetig sein muss und (d) richtig ist?
Dankeschön!
Gruß
Jens
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 So 09.01.2011 | | Autor: | maikel |
(a) hast du richtig gelöst.
(b) ist hinreichend. (Beweis notwendig)
(c) es gilt (c) => (b), und (b) => Existenz, also auch (c) => Existenz
(d) Ja. (auch hier ist ein Beweis notwendig)
Grüße, Maikel
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