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| Aufgabe | Berechne:
a) [mm] \integral_{0}^{\infty} [/mm] { [mm] e^{-x} [/mm] dx }
b) [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] { [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] dx } |
Hallöchen!
Meine Lösungen:
a)
[mm] \integral_{0}^{u} [/mm] { [mm] e^{-x} [/mm] dx} = [mm] {-e^{-x}}_{von 0 bis u} [/mm] = [mm] -e^{-u} [/mm] + [mm] e^0 [/mm] = [mm] -e^{-u} [/mm] + 1
[mm] \limes_{u\rightarrow\infty} -e^{-u} [/mm] + 1 = 1
Integralwert = 1
Ich weiß, dass das stimmt. Doch ich will wissen, ist das mathematisch korrekt, wie ich das hier so hingeschrieben hab? Gibt es formale Fehler (oder doch ein paar mathematische?)
b)
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] { [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] dx }
[mm] \integral_{u}^{1} [/mm] { [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] dx } = [mm] {-x^{-1}}_{von u bis 1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{u}
[/mm]
[mm] \limes_{u\rightarrow0} [/mm] -1 + [mm] \bruch{1}{u} [/mm] = -1
Stimmt das soweit? Auch mathematisch korrekt hingeschrieben? Und was bedeutet dieses -1 bei dem Limes?
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heyho!
ich zitiere jetzt mal nicht, da dabei zu viele eingabfehler entstehen... setze dich am besten einmal damit auseinander wie die formeln hier funktionieren dann passt das das nächste mal :)
zu a):
zur notation gibt es grundsätzlich verschiedene meinungen
du kannst z.b bei integralen die klammern weglassen wenn du ein produkt hast, bei summen musst du klammern nehmen, dann aber bitte keine mengenklammern
also sowas wie [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) * g(x) dx} [/mm] oder [mm] \integral_{a}^{b}{(f(x) + g(x)) dx}
[/mm]
der nächste schritt wäre dann [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] [F(x)]_a^b, [/mm] wobei [mm] [F(x)]_a^b [/mm] = F(b) - F(a)
aber da werden dir andere bestimmt auch andere notationen vorschlagen. guck halt was dir am besten gefällt
das unendlich durch u zu ersetzen und dann den limes u -> [mm] \infty [/mm] zu betrachten is vollkommen in ordnung, die notation allerdings nicht.
[mm]\limes_{u\rightarrow\infty} -e^{-u}[/mm] + 1 = 1 stimmt zwar zufällig noch, nutze aber bei summen trotzdem klammern. wenn du das nicht tust bezieht sich der limes nur auf den ersten summanden.
in teil b) zieht das vor allem nach sich dass du [mm]\bruch{1}{u}[/mm] + [mm]\limes_{u\rightarrow0}[/mm] -1 betrachtest und nicht [mm]\limes_{u\rightarrow0}[/mm]( -1 + [mm]\bruch{1}{u}[/mm])
zu b):
wenn du da die notation korrigierst ist das bis zur letzten zeile auch ok soweit.
aber die letzte zeile stimmt mal einfach garnicht...
du betrachtest -1 + [mm]\bruch{1}{u}[/mm]
und u -> 0
da soll -1 rauskommen?
rechne doch mal aus was die brüche [mm] \bruch{1}{1}, \bruch{1}{0,1}, \bruch{1}{0,01}, \bruch{1}{0,001}, \bruch{1}{0,0001}, [/mm] usw ergeben
da sollt dir ein trend auffallen ;)
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