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| Aufgabe | Sei g: [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig differenzierbar mit kompaktem Träger [a,b]. Zeigen sie, dass für alle stetigen f: [mm] \IR \to \IR [/mm] gilt
[mm] h(x)=\integral_{ -\infty}^{ \infty}{f(y)g(x-y) dy} [/mm] existiert und ist ebenfalls stetig differenzierbar. |
Guten Tag allerseits,
hier mein Ansatz zu dieser Aufgabe:
Da g einen kompakten Träger hat ist g für alle x [mm] \not\in [/mm] gleich 0. Also ist g'(x) dort auch gleich 0.
Damit folgt, da man die Ableitung unter das Integral ziehen darf:
[mm] h'(x)=-\integral_{ -\infty}^{ \infty}{f(y)g'(x-y) dy} [/mm] Nun weiß ich, wie oben gesagt, dass auch g' außerhalb von [a,b] gleich 0 ist. Aber das Problem ist, dass ich zwar über die Funktionen unter dem Integral Aussagen machen kann, aber nicht über deren Stammfunktion. g' und f sind nach Voraussetzung stetig, also auch ihr Produkt. Kann ich aber einfach die Grenzen [mm] \infty [/mm] und [mm] -\infty [/mm] durch x+a bzw x+b ersetzen? Und vor allem würde mir das nur weiterhelfen, wenn ich auch integrieren könnte. Oder kann ich sagen, dass wenn die Ableitung, also das Produkt der Funktionen f und g' unter dem Integral stetig ist, dass dann auch ihre Stammfunktion existieren muss. Da würde zumindest die Existenz zeigen.
Ich habe auch schon versucht, das Produkt von Funktionen unter dem Integral partiell zu integrieren, aber man dreht sich im Kreis, sowohl, wenn man versucht h' als auch h zu integrieren.
Ich wäre für Kommentare zu meinem Ansatz und für weitere Hilfe sehr dankbar.
Schönen Sonntag wünsche ich außerdem
Viele Grüße
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 16.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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