Uneigentliche Integrale < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Mo 29.11.2010 | | Autor: | lizi |
| Aufgabe | | wie groß ist der Flächeninhalt der Fläche unter dem Graphen der Funktion f über der angegebenen Intervall |
Hallo Leute! Zurzeit machen wir in der Schule uneigentliche Integrale, eigentlich komme ich mit allem ganz gut klar, nur bereitet mir danach das Ergebnis immer Probleme.
a) f(x)= [mm] \bruch{1} \wurzel[3]{x}
[/mm]
[mm] \limes_{k \to \ null} \integral_{0}^{1} x^-^1^/^3\, [/mm] dx
= [mm] \limes_{k \to \null} \bruch{-2}{3} [/mm] + [mm] \bruch{0.6}{k} [/mm]
= ?
B) F(x)= [mm] \bruch{1}{x^3} [/mm]
[mm] \limes_{k \to \null} [/mm] -0.25+ [mm] \bruch{2}{k}
[/mm]
= ????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Mo 29.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
> wie groß ist der Flächeninhalt der Fläche unter dem
> Graphen der Funktion f über der angegebenen Intervall
> Hallo Leute! Zurzeit machen wir in der Schule
> uneigentliche Integrale, eigentlich komme ich mit allem
> ganz gut klar, nur bereitet mir danach das Ergebnis immer
> Probleme.
>
> a) f(x)= [mm]\bruch{1}{\wurzel[3]{x}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{k \to 0} \integral_{0}^{1} x^-^1^/^3\,[/mm] dx
Die Idee, das umzuschreiben ist korrekt, aber die Untergrenze ist hier dann k, da 0 ja die "laufgrenze" von k ist.
Also:
[mm] $\limes_{k\to0}\integral_{\red{k}}^{1}x^{-\bruch{1}{3}}dx$
[/mm]
[mm] $=\limes_{k\to0}\left(\left[\bruch{3}{2}x^{\bruch{2}{3}}\right]_{k}^{1}\right)$
[/mm]
[mm] $=\limes_{k\to0}\left(\bruch{3}{2}*(1)^{\bruch{2}{3}}-\bruch{3}{2}*(k)^{\bruch{2}{3}}\right)$
[/mm]
[mm] $=\limes_{k\to0}\left(\bruch{3}{2}-\bruch{3}{2}*\wurzel[3]{k^{2}}\right)$
[/mm]
[mm] $=\limes_{k\to0}\bruch{3}{2}-\limes_{k\to0}\bruch{3}{2}\wurzel[3]{k^{2}}$
[/mm]
Versuche jetzt mal, den Grenzwertübergang selber hinzubekommen.
>
> B) F(x)= [mm]\bruch{1}{x^3}[/mm]
>
> [mm]\limes_{k \to \null}[/mm] -0.25+ [mm]\bruch{2}{k}[/mm]
> = ????
>
Zu b fehlt mir ein wenig die genaue Aufgabe. Gib mal f(x) sowie das gegebene Intervall an und bestimme F(x). Dann sehen wir weiter.
Prinzipiell läuft das aber genauso wie in Aufgabe a)
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Mo 29.11.2010 | | Autor: | lizi |
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> >
> > B) F(x)= [mm]\bruch{1}{x^3}[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{k \to \null}[/mm] -0.25+ [mm]\bruch{2}{k}[/mm]
> > = ????
> >
>
> Zu b fehlt mir ein wenig die genaue Aufgabe. Gib mal f(x)
> sowie das gegebene Intervall an und bestimme F(x). Dann
> sehen wir weiter.
> Prinzipiell läuft das aber genauso wie in Aufgabe a)
>
> Marius
>
Hallo Marius,
zu b) f(x)= [mm]\bruch{1}{x^3}[/mm] [0; 0.5]
Und ich weiß wirklich nicht, wie ich den Grenzübergang berechnen soll. :-( soll ich für k 0 einsetzen?
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Hallo lizi,
> >
> > >
> > > B) F(x)= [mm]\bruch{1}{x^3}[/mm]
> > >
> > > [mm]\limes_{k \to \null}[/mm] -0.25+ [mm]\bruch{2}{k}[/mm]
> > > = ????
> > >
> >
> > Zu b fehlt mir ein wenig die genaue Aufgabe. Gib mal f(x)
> > sowie das gegebene Intervall an und bestimme F(x). Dann
> > sehen wir weiter.
> > Prinzipiell läuft das aber genauso wie in Aufgabe a)
> >
> > Marius
> >
>
> Hallo Marius,
>
> zu b) f(x)= [mm]\bruch{1}{x^3}[/mm] [0; 0.5]
>
> Und ich weiß wirklich nicht, wie ich den Grenzübergang
> berechnen soll. :-( soll ich für k 0 einsetzen?
>
Es ist:
[mm]\integral_{0}^{0.5}{\bruch{1}{x^{3}} \ dx}=\limes_{k \rightarrow 0}\integral_{k}^{0.5}{\bruch{1}{x^{3}} \ dx}[/mm]
Berechne zunächst das Integral
[mm]\integral_{k}^{0.5}{\bruch{1}{x^{3}} \ dx}[/mm]
und lasse dann k gegen 0 laufen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mo 29.11.2010 | | Autor: | lizi |
> [mm]\limes_{k\to0}\integral_{\red{k}}^{1}x^{-\bruch{1}{3}}dx[/mm]
>
> [mm]=\limes_{k\to0}\left(\left[\bruch{3}{2}x^{\bruch{2}{3}}\right]_{k}^{1}\right)[/mm]
>
> [mm]=\limes_{k\to0}\left(\bruch{3}{2}*(1)^{\bruch{2}{3}}-\bruch{3}{2}*(k)^{\bruch{2}{3}}\right)[/mm]
>
> [mm]=\limes_{k\to0}\left(\bruch{3}{2}-\bruch{3}{2}*\wurzel[3]{k^{2}}\right)[/mm]
>
> [mm]=\limes_{k\to0}\bruch{3}{2}-\limes_{k\to0}\bruch{3}{2}\wurzel[3]{k^{2}}[/mm]
>
> Versuche jetzt mal, den Grenzwertübergang selber
> hinzubekommen.
>
>
> >
> Marius
> Ähm können wir das nicht erstmal bei der Aufgabe a versuchen?
Also ich habe zwar keine Ahnung ob das stimmt, aber ich glaube das Ergebnis ist = 2/3?
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Hallo lizi,
> > [mm]\limes_{k\to0}\integral_{\red{k}}^{1}x^{-\bruch{1}{3}}dx[/mm]
> >
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> [mm]=\limes_{k\to0}\left(\left[\bruch{3}{2}x^{\bruch{2}{3}}\right]_{k}^{1}\right)[/mm]
> >
> >
> [mm]=\limes_{k\to0}\left(\bruch{3}{2}*(1)^{\bruch{2}{3}}-\bruch{3}{2}*(k)^{\bruch{2}{3}}\right)[/mm]
> >
> >
> [mm]=\limes_{k\to0}\left(\bruch{3}{2}-\bruch{3}{2}*\wurzel[3]{k^{2}}\right)[/mm]
> >
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> [mm]=\limes_{k\to0}\bruch{3}{2}-\limes_{k\to0}\bruch{3}{2}\wurzel[3]{k^{2}}[/mm]
> >
> > Versuche jetzt mal, den Grenzwertübergang selber
> > hinzubekommen.
> >
> >
> > >
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> > Marius
> > Ähm können wir das nicht erstmal bei der Aufgabe a
> versuchen?
>
> Also ich habe zwar keine Ahnung ob das stimmt, aber ich
> glaube das Ergebnis ist = 2/3?
>
Der Kehrwert von diesem Ergebnis ist richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mo 29.11.2010 | | Autor: | lizi |
achso! Ähm gibt es den nicht eine bestimmte regel für solche Fälle?
Bei den Ganzrationalen Funktionen gab es ja welche und auch bei den e funktionen [( x->unendlich) [mm] e^x= [/mm] 0 e^-^x = 0 (usw.)]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo lizi!
Nein, hier gibt es keine pauschalen Regeln. Es gilt also jeweils die entsprechende Grenzwertbetrachtung durchzuführen.
Gruß
Loddar
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