Uneigentliche Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Mo 29.01.2007 | | Autor: | Fuffi |
| Aufgabe | Man entscheide, ob folgende uneigentliche Integrale kovergieren:
[mm] \limes_{n\rightarrow 1} \integral_{n}^{2}{\bruch{dx}{log(x)}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{1}^{n}{sin^{2}\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
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Ich habe wirklich schon lange daran gesessen und rumprobiert aber ich kriege einfach keine Stammfunktion hin, so dass ich die Aufgaben lösen könnte. Ich wäre dankbar für einen Tip wie ich am besten Anfange, also z.B. womit ich am besten substitioniere.
Fuffi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keinen anderen Internetseiten gestellt
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Du sollst ja auch gar keine Stammfunktionen bestimmen, sondern die uneigentlichen Integrale auf Konvergenz untersuchen.
Beim ersten Integral hilft
[mm]\ln{x} < x-1 \ \ \mbox{für} \ \ x>1[/mm]
Betrachte dazu die Tangente an den Graphen der Logarithmusfunktion in [mm](1,0)[/mm].
Beim zweiten Integral hilft
[mm]\int_1^{\infty}~\sin^2{\frac{1}{x}}~\mathrm{d}x = \int_0^1~\left( \frac{\sin{x}}{x} \right)^2~\mathrm{d}x[/mm]
Das ist so zu verstehen: Entweder konvergieren beide Integrale mit demselben Grenzwert oder es divergieren beide. Warum diese Gleichheit gilt und was sie dir nützt, kannst du selber herausfinden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mo 29.01.2007 | | Autor: | Fuffi |
Ja stimmt die Möglichkeit hatten wir auch. Aber ich könnte es doch auch (komplizierter) über eine Stammfunktion machen oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Di 30.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Auch das würde gehen. Dazu substituiere dann mal
1) [mm] u(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
und 2) v(x)=log(x)
Marius
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