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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 So 15.04.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Existiert das Integral
[mm] \int_0^\infty e^{bx} [/mm] dx
b beliebig |
Ich komme da nicht ganz drauf ..
[mm] \int_0^\infty e^{bx} [/mm] dx = [mm] lim_{R->\infty} b*(e^{b*R} [/mm] - 1)
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Hallo,
> Existiert das Integral
> [mm]\int_0^\infty e^{bx}[/mm] dx
> b beliebig
Wenn die Aufgabe wirklich so lautet, denke ich, dass du die [mm] $b\in \IR$ [/mm] angeben sollst, für die das Integral existiert, und die [mm] $b\in\IR$, [/mm] für die es nicht existiert.
> Ich komme da nicht ganz drauf ..
> [mm]\int_0^\infty e^{bx}[/mm] dx = [mm]lim_{R->\infty} b*(e^{b*R}[/mm] - 1)
Das ist nicht ganz richtig. Es sollte b statt 1/b lauten (für b = 0 muss man einen extra Fall betrachten):
[mm] $\int_{0}^{\infty} e^{bx} [/mm] \ dx = [mm] \Big[\frac{1}{b}e^{bx}\Big]_{0}^{\infty} [/mm] = [mm] \lim_{R\to \infty} \frac{1}{b}*\left(e^{b R} - 1\right)$.
[/mm]
Nun geh doch einfach mal 3 Fälle durch und entscheide jeweils, wie es um die Existenz des Limes bestellt ist:
b = 0
b > 0
b < 0
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 So 15.04.2012 | | Autor: | sissile |
> $ [mm] \int_{0}^{\infty} e^{bx} [/mm] \ dx = [mm] \Big[\frac{1}{b}e^{bx}\Big]_{0}^{\infty} [/mm] = [mm] \lim_{R\to \infty} \frac{1}{b}\cdot{}\left(e^{b R} - 1\right) [/mm] $.
> Nun geh doch einfach mal 3 Fälle durch und entscheide jeweils, wie es um die Existenz des Limes bestellt ist:
> b = 0
> b > 0
> b < 0
Da wäre schonmal meine erste Frage zu b=0
Da würde ma durch 0 dividieren. Kann man dann sofort sagen, dass es nicht existiert oder nimmt man sich da einen wert [mm] \varepsilon, [/mm] den man gegen 0 gehen lässt?
aber geht es nicht bei b>0 gegen + unendlich
bei b<0 gehen - unendlich?
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Du mußt umgekehrt denken! Da man durch 0 nicht dividieren darf, hättest du diesen Schritt NIE MACHEN DÜRFEN! Das ist ein Denkfehler, der auch nachträglich nicht zurechtgerückt werden kann.
Du mußt VORHER schauen, was passiert. Was ist denn, wenn [mm]b=0[/mm] ist? Dann sieht doch das Integral so aus:
[mm]\int_0^{\infty} \operatorname{e}^{0 \cdot x} ~ \mathrm{d}x = \int_0^{\infty} 1 ~ \mathrm{d}x[/mm]
Und das Integral über die konstante Funktion existiert natürlich nicht. Damit ist der Fall [mm]b=0[/mm] erledigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 So 15.04.2012 | | Autor: | sissile |
ah okay. aber für b>0 und b<0 darf ich normal integrieren ?
b >0
[mm] \int_0^{\infty} \operatorname{e}^{b \cdot x} \mathrm{d}x [/mm] = [mm] \lim_{R\to \infty} \frac{1}{b}\cdot{}\left(e^{b R} - 1\right) [/mm]
Das Integral exsitiert ja dann nie;(
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Hallo sissile,
> ah okay. aber für b>0 und b<0 darf ich normal integrieren
> ?
Ja.
> b >0
> [mm]\int_0^{\infty} \operatorname{e}^{b \cdot x} \mathrm{d}x[/mm]
> = [mm]\lim_{R\to \infty} \frac{1}{b}\cdot{}\left(e^{b R} - 1\right)[/mm]
>
> Das Integral exsitiert ja dann nie;(
Für diesen Fall ist das richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 So 15.04.2012 | | Autor: | sissile |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Für b <0
$ \int_0^{\infty} \operatorname{e}^{b \cdot x} \mathrm{d}x $= $ \lim_{R\to \infty} \frac{1}{b}\cdot{}\left(e^{b R} - 1\right) $
$ \lim_{R\to \infty} \frac{1}{b}(\frac{1}{e^{|b| R}} - 1\right)) $
-> konvergiert.
lg
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Hallo sissile,
> Für b <0
>
> [mm]\int_0^{\infty} \operatorname{e}^{b \cdot x} \mathrm{d}x [/mm]=
> [mm]\lim_{R\to \infty} \frac{1}{b}\cdot{}\left(e^{b R} - 1\right)[/mm]
>
>
> [mm]\lim_{R\to \infty} \frac{1}{b}(\frac{1}{e^{|b| R}} - 1\right))[/mm]
> -> konvergiert.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> lg
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 So 15.04.2012 | | Autor: | sissile |
danke ;))
Liebe grüße, schönen SOnntag noch.
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