Uneigentliche I. x^a e^(bx) < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 So 15.04.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Existiert das Integral?
b beliebig [mm] \in \IR, [/mm] a [mm] \leq [/mm] -1
[mm] \int_0^1 x^a e^{bx} [/mm] dx |
Meine Vermutung ist dass es nicht existiert.
Aber wie zeige ich das?Kann mir da wer einen Tipp geben?
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Hallo,
> Existiert das Integral?
>
> b beliebig [mm]\in \IR,[/mm] a [mm]\leq[/mm] -1
> [mm]\int_0^1 x^a e^{bx}[/mm] dx
> Meine Vermutung ist dass es nicht existiert.
> Aber wie zeige ich das?Kann mir da wer einen Tipp geben?
Bei dieser Aufgabe "stört" ja das [mm] $e^{bx}$, [/mm] sonst könnte man das Integral einfach berechnen. Überlege dir, dass es für jedes [mm] $b\in \IR$ [/mm] eine Konstante
$C > 0$
gibt so dass
für alle [mm] $x\in [/mm] [0,1]:$ $C [mm] \le e^{bx}$
[/mm]
Dann kannst du abschätzen:
[mm] $\int_{0}^{1} x^{a} e^{bx} [/mm] \ dx [mm] \ge C*\int_{0}^{1} x^{a} [/mm] \ dx$
Jetzt kannst du das Integral berechnen und daraus evtl. Schlüsse für das Ausgangsintegral ziehen.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 So 15.04.2012 | | Autor: | sissile |
Warum gibt es diese Konstante C? könntest du mir das vlt nochmals erklären?
$ [mm] \int_{0}^{1} x^{a} e^{bx} [/mm] \ dx [mm] \ge C\cdot{}\int_{0}^{1} x^{a} [/mm] \ dx $= C * [mm] (\frac{1^{a+1}}{a+1}-\frac{0^{a+1}}{a+1})= \frac{C}{a+1} [/mm]
Nun=?
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Hallo,
> Warum gibt es diese Konstante C? könntest du mir das vlt
> nochmals erklären?
Das habe ich noch nicht erklärt, sondern solltest du dir überlegen!
Die Exponentialfunktion ist monoton wachsend oder monoton fallend im Intervall $[0,1]$ (abhängig von $b$), aber es gilt mit $f(x) = [mm] e^{bx}$ [/mm] sicher:
f(0) = 1,
f(1) = [mm] e^{b}
[/mm]
Eine dieser beiden Zahlen ist also die gesuchte Konstante $C$.
> [mm]\int_{0}^{1} x^{a} e^{bx} \ dx \ge C\cdot{}\int_{0}^{1} x^{a} \ dx [/mm]=
> C * [mm](\frac{1^{a+1}}{a+1}-\frac{0^{a+1}}{a+1})= \frac{C}{a+1}[/mm]
Erst einmal solltest du noch die Fälle $a = -1$ und $a < -1$ unterscheiden.
Dann solltest du beachten, dass die Potenz beim $x$ ja negativ ist, da kannst du nicht einfach 0 einsetzen!!!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 So 15.04.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo ;)
> Die Exponentialfunktion ist monoton wachsend oder monoton fallend im Intervall $ [0,1] $ (abhängig von $ b $), aber es gilt mit $ f(x) = [mm] e^{bx} [/mm] $ sicher:
> f(0) = 1,
> f(1) = $ [mm] e^{b} [/mm] $
> Eine dieser beiden Zahlen ist also die gesuchte Konstante $ C $.
das kommt auf b an
ist b < 0 so ist [mm] e^{b} [/mm] die Konstante
ist b > 0 so ist 1 die Konstante
so dass C <= [mm] e^{bx}
[/mm]
$ [mm] \int_{0}^{1} x^{a} e^{bx} [/mm] \ dx [mm] \ge C\cdot{}\int_{0}^{1} x^{a} [/mm] \ dx $
a= -1
[mm] C\cdot{}\int_{0}^{1} [/mm] 1/x dx = C * ln(|x|)=
nun ist aber ln (0) nicht definiert, was mache ich dann?
Kann das gleich auf Divergenz schließen lassen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 So 15.04.2012 | | Autor: | sissile |
hei,
jetzt hab ich noch eine frage bei a < -1
$ [mm] \int_{0}^{1} x^{a} e^{bx} [/mm] \ dx [mm] \ge C\cdot{}\int_{0}^{1} x^{a} [/mm] \ dx $=
> C * [mm] (\frac{x^{a+1}}{a+1})
[/mm]
Wie du gesagt hast darf ich ja nun nicht so einfach 0 für x einsetzten, da das ja gar nicht definiert ist.
Was mache ich da nun?
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Hallo,
> hei,
> jetzt hab ich noch eine frage bei a < -1
> [mm]\int_{0}^{1} x^{a} e^{bx} \ dx \ge C\cdot{}\int_{0}^{1} x^{a} \ dx [/mm]=
>
> > C * [mm](\frac{x^{a+1}}{a+1})[/mm]
>
> Wie du gesagt hast darf ich ja nun nicht so einfach 0 für
> x einsetzten, da das ja gar nicht definiert ist.
> Was mache ich da nun?
Schreibe:
[mm] $C*\int_{0}^{1} x^{a} [/mm] \ dx = [mm] C*\Big[\frac{x^{a+1}}{a+1}\Big]_0^{1} [/mm] = [mm] \lim_{R \to 0}\frac{1}{a+1}\Big[ [/mm] 1- [mm] R^{a+1}\Big] [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
Weil das Ausgangsintegral noch größer ist, existiert es auch nicht.
[Es wäre noch etwas eleganter, wenn man die Abschätzung der Integral noch im eigentlichen Zustand macht, also [mm] $\int_{\varepsilon}^{1}$]
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 So 15.04.2012 | | Autor: | sissile |
danke,wunderbare hilfe ;))
1 mit *
lg
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