Uneigent. Integral sin(1/x²) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Mi 04.05.2011 | | Autor: | engels |
| Aufgabe | Hallo zusammen,
ich soll bei einer Übungsaufgabe
1) das uneigentliche Integral [mm] \integral_{2}^{\infty}{sin(\bruch{1}{x²}) dx} [/mm] bestimmen.
2) das uneigentliche Integral [mm] \integral_{0}^{2}{sin(\bruch{1}{x²}) dx} [/mm] bestimmen. Hier ist uns zur Hilfe angegeben, dass wir die Substitution anwenden können: [mm] u=\bruch{1}{x²}. [/mm] |
So ich hab leider keinen richtigen Ansatz gefunden. Habe schon bei Wolfram Alpha geguckt, das Integral exestiert. Kann einer von euch mir ein paar Tipps geben, wie ich am besten ansetzen kann? Ich hab das ganze mal versucht zu substituieren, bin danach aber hängen geblieben. Hier mein Ansatz:
[mm] u=\bruch{1}{x²}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{-2}{x³} [/mm] => dx = [mm] -\bruch{1}{2}*u^{\bruch{-3}{2}}du
[/mm]
So komm ich auf das Integral:
[mm] -\bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{u^{\bruch{-3}{2}}*sin(u) du}
[/mm]
Jetzt hört es bei mir aber auf. Partielle Integration schlägt fehl und ich weiß nicht mehr weiter. Hat irgendjemand eine Ahnung? Bin echt am verzweifeln.
Achja, ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Du sollst vermutlich das Integral nicht berechnen, sondern nur seine Existenz zeigen. Stimmt das?
Bei a) liefert die Substitution [mm]u = \frac{1}{x^2}[/mm] die formale Identität:
[mm]\int_2^{\infty} \sin \frac{1}{x^2}~\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{1}{4}} \frac{\sin u}{u^{\frac{3}{2}}}~\mathrm{d}u[/mm]
Das ist so zu verstehen: Entweder existieren beide Integrale und haben denselben Wert oder keines der beiden Integrale existiert. Jetzt kann man sich aber die Existenz des zweiten Integrals folgendermaßen klarmachen:
Die Funktion
[mm]f(u) = \frac{\sin u}{u}[/mm]
ist bei [mm]u=0[/mm] bekanntermaßen mit dem Wert 1 stetig ergänzbar. Das zeigt zum Beispiel die Potenzreihe des Sinus. Man setzt [mm]f[/mm] entsprechend fort:
[mm]f(0) = 1[/mm]
Im Intervall [mm]\left[ 0 \, , \frac{1}{4} \right][/mm] ist [mm]f(u)>0[/mm]. Daher ist [mm]f(u)[/mm] durch eine Konstante [mm]C>0[/mm] beschränkt:
[mm]0 < f(u) \leq C[/mm] für [mm]0 \leq u \leq \frac{1}{4}[/mm]
Division durch [mm]\sqrt{u}[/mm] zeigt:
[mm]0 < \frac{\sin u}{u^{\frac{3}{2}}} \leq \frac{C}{\sqrt{u}}[/mm] für [mm]0 < u \leq \frac{1}{4}[/mm]
Man braucht die Substitution vom Anfang allerdings gar nicht, weil man direkt
[mm]\sin \frac{1}{x^2} \leq \frac{C}{x^2}[/mm] für [mm]x \geq 2[/mm]
zeigen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Do 05.05.2011 | | Autor: | engels |
Also, die Aufgabe wurde abgeändert.
Wir sollen die Integrale nur auf Konvergenz überprüfen, was doch eigentlich gleichzusetzen ist mit Existenz. Daher vielen Dank für deine Antwort, werde sie mir gleich mal zur Brust nehmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Do 05.05.2011 | | Autor: | engels |
Also den ersten Fall, [mm] \integral_{2}^{\infty}{sin(\bruch{1}{x^{2}}) dx} [/mm] nachzuweisen bekomm ich nun hin. Ich schätze nach oben ab, sodas ich folgendes erhalte:
[mm] \integral_{2}^{\infty}{sin(\bruch{1}{x^{2}}) dx}\le\integral_{2}^{\infty}{\bruch {1}{x^{2}} dx}
[/mm]
Dies kann ich ohne Probleme lösen.
Bei Aufgabe zweit scheiter ich allerdings. Ich versuche, die Funktion möglichst gut betragsmäßig nach oben abzuschätzen. Nur leider komm ich da auf keine Lösung. Hat irgendeiner eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Do 05.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst doch |sinu| durch 1 abschätzen, und hast das integral von 1/4 bis [mm] \infty
[/mm]
Damit solltest du hinkommen
allerdings ist ja auch [mm] |sin(1/x^2)|\le1 [/mm] und du kannst den Integranden direkt durch 1 abschätzen auf dem endlichen Intervall [0,2] ich weiss also nicht, warum sie dir zur Substitution raten??
Gruss leduart
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