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| Aufgabe | Was hat die Funktion f(x) an der Stelle [mm] x_{0}, [/mm] wenn gilt:
[mm] f’(x_{0})\not=0
[/mm]
[mm] f’’(x_{0})=0
[/mm]
[mm] f’’’(x_{0})=0
[/mm]
[mm] f’’’’(x_{0})\not=0
[/mm]
Gib ein Beispiel für so eine Funktion an.
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Als Beispiel habe ich konstruiert:
f(x)= [mm] x^{4}+x
[/mm]
Diese Funktion erfüllt für [mm] x_{0}=0 [/mm] die oben genannten Bedingungen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn die 1. Ableitung NULL ist, dann liegt normalerweise ein Extrempunkt vor. Es sei denn, die 2. Ableitung ist auch NULL.
Dann liegt ein Sattelpunkt vor.
Wenn die 2. Ableitung NULL ist, dann liegt normalerweise ein Wendepunkt vor. Es sei denn, die 3. Ableitung ist auch NULL.
Dann liegt ein ??? vor.
Wie heißt das Pendant zu Sattelpunkt?
Ist das ein „unechter Wendepunkt“?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
oh weh, fast hätte ich eine ausführliche Antwort auf eine nicht gestellte Frage abgeschickt. Zum Glück ist meine Verbindung rechtzeitig zusammengebrochen.
Um zu entscheiden, ob bei x=0 ein Wendepunkt vorliegt, muß man sich darauf besinnen, was ein Wendepunkt ist:
die Stelle, an der der Graph der Funktion seine Krümmungsrichtung ändert.
Die Krümmungsrichtung entnimmt man der 2. Ableitung.
Diese ist hier [mm] f''(x)=12x^2.
[/mm]
Wir stellen fest: [mm] f''(x)\ge [/mm] 0 für alle x.
Also ist der Graph von f auf dem kompletten Definitionsbereich linksgekrümmt, so daß an der Stelle x=0 kein Wendepunkt vorliegt.
Ich weiß nichts davon, daß solche Punkte wie der vorliegende einen besonderen Namen haben.
> Wenn die 1. Ableitung NULL ist, dann liegt normalerweise
> ein Extrempunkt vor. Es sei denn, die 2. Ableitung ist
> auch NULL.
> Dann liegt ein Sattelpunkt vor.
Nein, nicht unbedingt.
Wenn erste und zweite Ableitung =0 sind, dann weiß man, daß man einen Extremwert oder einen Sattelpunkt hat - ist also so schlau wie bei Kenntnis der ersten Ableitung.
> Wenn die
1. Ableitung [mm] \not=0 [/mm] ist und die
> 2. Ableitung NULL ist, dann liegt normalerweise
sicher
> ein Wendepunkt vor,
wenn die 3. Ableitung [mm] \not=0 [/mm] ist.
> Es sei denn, die 3. Ableitung ist auch
> NULL.
> Dann liegt ein ??? vor.
Ein Wendepunkt oder kein Wendepunkt.
>
> Wie heißt das Pendant zu Sattelpunkt?
> Ist das ein „unechter Wendepunkt“?
Wie gesagt, ich weiß nichts von einem besonderen Namen.
Man würde hier dann wohl eher über die Eigenschaften der 1. Ableitung sprechen.
Gruß v. Angela
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> fast hätte ich eine ausführliche Antwort auf eine
> nicht gestellte Frage abgeschickt.
Wie lautete denn die nicht gestellte Frage ?
> Ein Wendepunkt ist die Stelle, an der der Graph der
> Funktion seine Krümmungsrichtung ändert.
> Also ist der Graph von f auf dem kompletten
> Definitionsbereich linksgekrümmt, so daß an der Stelle
> x=0 kein Wendepunkt vorliegt.
Bis zur Stelle x=0 war der Graph von f immer linksgekrümmt. Diese Linkskrümmung nahm immer mehr ab. An der Stelle x=0 liegt gar keine Krümmung mehr vor.
Doch nun geschieht das Unfassbare: Es wird wieder nach links gekrümmt.
Und das meinte ich mit Pendant zu Sattelpunkt: Sobald der vermeintliche Hochpunkt erreicht ist, geht der Graph nicht nach unten (dann wäre es ein "echter Hochpunkt"), sondern er geht weiter nach oben und wird somit zum Sattelpunkt.
P.S.
Während "Sattelpunkte" von Hoch- bzw. Tiefpunkt optisch leicht zu unterscheiden sind, ist ein "unechter Wendepunkt" nur schwer zu erkennen.
Selbst bei starker Vergrößerung kann man nicht erkennen, was da an der Stelle x=0 los ist.
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Hallo rabilein1,
> > fast hätte ich eine ausführliche Antwort auf eine
> > nicht gestellte Frage abgeschickt.
>
> Wie lautete denn die nicht gestellte Frage ?
>
>
> > Ein Wendepunkt ist die Stelle, an der der Graph der
> > Funktion seine Krümmungsrichtung ändert.
> > Also ist der Graph von f auf dem kompletten
> > Definitionsbereich linksgekrümmt, so daß an der Stelle
> > x=0 kein Wendepunkt vorliegt.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Bis zur Stelle x=0 war der Graph von f immer
> linksgekrümmt. Diese Linkskrümmung nahm immer mehr ab. An
> der Stelle x=0 liegt gar keine Krümmung mehr vor.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Wie definierst du denn die  Krümmung?
> Doch nun geschieht das Unfassbare: Es wird wieder nach
> links gekrümmt.
Also ist der Graph doch fortwährend links gekrümmt, oder?
>
> Und das meinte ich mit Pendant zu Sattelpunkt: Sobald der
> vermeintliche Hochpunkt erreicht ist, geht der Graph nicht
> nach unten (dann wäre es ein "echter Hochpunkt"), sondern
> er geht weiter nach oben und wird somit zum Sattelpunkt.
>
> P.S.
> Während "Sattelpunkte" von Hoch- bzw. Tiefpunkt optisch
> leicht zu unterscheiden sind, ist ein "unechter Wendepunkt"
> nur schwer zu erkennen.
> Selbst bei starker Vergrößerung kann man nicht erkennen,
> was da an der Stelle x=0 los ist.
Es gibt zwei Wege, einen Sattelpunkt eindeutig zu bestimmen:
1. erste und zweite Ableitung von f sind =0 und [mm] f'''\ne [/mm] 0
wie Angela schon schrieb, untersucht man statt f''' den Vorzeichenwechsel bei f''.
2. man stellt fest, welche der nächsten Ableitungen als erste [mm] \ne [/mm] 0 wird:
[mm] f^{(n)}\ne [/mm] 0 und n gerade [mm] \Rightarrow [/mm] keine Wendestelle, wegen f'=0 aber eine Extremstelle
[mm] f^{(n)}\ne [/mm] 0 und n ungerade [mm] \Rightarrow [/mm] Wendestelle, wegen f'=0 eine Sattelpunkt.
Schlussendlich: es gibt keine "unechten" Wendestellen.
Gruß informix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Mi 08.07.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Schlussendlich: es gibt keine "unechten" Wendestellen.
Der Ausdruck "Unechte Wendestellen" stammt von mir und war deswegen niemandem geläufig.
Allerdings finde ich den Ausdruck von fred97 eindeutiger:
"Es handelt sich um einen Punkt mit extremer Krümmung".
Das war genau das, was ich meinte.
Danke euch allen für die Mühe und die Kommentare.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Mi 08.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Was hat die Funktion f(x) an der Stelle [mm]x_{0},[/mm] wenn gilt:
> [mm]f’(x_{0})\not=0[/mm]
> [mm]f’’(x_{0})=0[/mm]
> [mm]f’’’(x_{0})=0[/mm]
> [mm]f’’’’(x_{0})\not=0[/mm]
>
> Gib ein Beispiel für so eine Funktion an.
>
> Als Beispiel habe ich konstruiert:
>
> f(x)= [mm]x^{4}+x[/mm]
>
> Diese Funktion erfüllt für [mm]x_{0}=0[/mm] die oben genannten
> Bedingungen.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> Wenn die 1. Ableitung NULL ist, dann liegt normalerweise
> ein Extrempunkt vor. Es sei denn, die 2. Ableitung ist
> auch NULL.
> Dann liegt ein Sattelpunkt vor.
Das stimmt nicht. Beispiel: $f(x) = [mm] x^4$
[/mm]
>
> Wenn die 2. Ableitung NULL ist, dann liegt normalerweise
> ein Wendepunkt vor. Es sei denn, die 3. Ableitung ist auch
> NULL.
> Dann liegt ein ??? vor.
>
> Wie heißt das Pendant zu Sattelpunkt?
> Ist das ein „unechter Wendepunkt“?
Setze $g = f''$
Dann: [mm] $g'(x_0) [/mm] = 0$ und [mm] $g''(x_0) \not= [/mm] 0$ . Also hat g in [mm] x_0 [/mm] einen Extremalpunkt.
Somit liegt bei f in [mm] x_0 [/mm] ein punkt mit extremaler Krümmung vor
FRED
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