Unbestimmtes Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Di 17.03.2009 | | Autor: | rumpel |
| Aufgabe | | Man untersuche, ob das uneigentliche Integral [mm] \integral_{0}^{1}{ \bruch{\wurzel[]{x}}{ln(x+1)} dx} [/mm] konvergiert. |
Hallo,
komm bei dieser Aufgabe weder durch Substitution noch durch partielle Integration weiter.. (hab echt schon alles versucht und bin schon halb am verzweifeln :-( )
Sind die Grenzwertsätze denn auch bei Integralen gültig?
Also könnte ich das ganze so umschreiben?
[mm] \integral_{0}^{1}{ \bruch{\wurzel[]{x}}{ln(x+1)} dx} [/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{ \wurzel[]{x} * \bruch{1}{ln(x+1)} dx} [/mm]
= [mm] \limes_{a\rightarrow\0} \integral_{a}^{1}{ \wurzel[]{x} * \bruch{1}{ln(x+1)} dx} [/mm]
= [mm] \limes_{a\rightarrow\0} \integral_{a}^{1}{ \wurzel[]{x} dx} [/mm] * [mm] \limes_{a\rightarrow\0} \integral_{a}^{1}{ \bruch{1}{ln(x+1)} dx} [/mm]
Da ich ja weiß , dass [mm] \limes_{n\rightarrow\0} \wurzel[]{x} [/mm] = 0
und [mm] \limes_{n\rightarrow\0} \bruch{1}{ln(x+1)} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Oh, da fällt mir grad auf, dass man das nich darf... grrrr. :-( Aber wenn [mm] \bruch{1}{ln(x+1)} [/mm] nen grenzwert hätte, dürfte man dann die Grenzwertsätze anwenden?
Ich hab echt keine Ahnung wie ich das sonst noch lösen könnt, wär echt super wenn mir wer weiter Helfen könnte!
Lieber Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Mi 18.03.2009 | | Autor: | rumpel |
kann mir denn keiner helfen? :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man untersuche, ob das uneigentliche Integral
> [mm]\integral_{0}^{1}{ \bruch{\wurzel[]{x}}{ln(x+1)} dx}[/mm]
> konvergiert.
> Hallo,
>
> komm bei dieser Aufgabe weder durch Substitution noch durch
> partielle Integration weiter.. (hab echt schon alles
> versucht und bin schon halb am verzweifeln :-( )
> Sind die Grenzwertsätze denn auch bei Integralen gültig?
> Also könnte ich das ganze so umschreiben?
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{ \bruch{\wurzel[]{x}}{ln(x+1)} dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{1}{ \wurzel[]{x} * \bruch{1}{ln(x+1)} dx}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{a\rightarrow\0} \integral_{a}^{1}{ \wurzel[]{x} * \bruch{1}{ln(x+1)} dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> $\red{=\limes_{a\rightarrow\0} \integral_{a}^{1}{ \wurzel[]{x} dx} *\limes_{a\rightarrow\0} \integral_{a}^{1}{ \bruch{1}{ln(x+1)} dx}$
um Gottes Willen, wozu bräuchte man denn dann überhaupt noch partielle Integration?? Die letzte Gleichheit ist totaler Unfug!! Das sowas nicht stimmen kann, kann man sich auch an einfachen Beispielen klarmachen: $\int_0^1 1 dx=1\,,$ aber mit $1=x*\frac{1}{x}$ sollte das nach Deiner Vermutung das gleiche sein wie
$$\int_0^1 x dx *\int_0^1 (1/x)dx=\infty\,.$$
Dass Du bei Dir $a \to 0$ dabeistehen hast, ändert nichts. Denn dann müßte ja für jedes genügend kleine $a > 0$ so etwas wie $\int_a^1 f(x)*g(x)\;dx=\int_a^1 f(x)\;dx\;\;*\;\;\int_a^1 g(x)\;dx$ gelten, und dann nochmal die Frage: Erinnerst Du Dich, wann und warum man partielle Integration anwendet?
Nun zu Deiner Aufgabe:
Verwende das ![[]](/images/popup.gif) Integralkriterium nach einer Substitution:
Wir setzen [mm] $y=y(x)=1/x\,,$ [/mm] dann gilt $y [mm] \to \infty$ [/mm] bei $x [mm] \to [/mm] 0^+$ und [mm] $y(1)=1\,,$ [/mm] so dass sich das Integral dann wegen [mm] $dy/dx=-1/x^2=-y^2$ [/mm] zu
[mm] $$\int_1^\infty \frac{\sqrt{1/y}}{\ln((1/y)+1)}*(1/y)^2\;dy=\int_1^\infty \frac{1}{y^{5/2}*ln((1/y)+1)}\;dy$$
[/mm]
umschreiben läßt.
Die Funktion $y [mm] \mapsto \frac{1}{y^{5/2}*ln((1/y)+1)}$ [/mm] ist streng monoton fallend auf [mm] $[1,\infty)$ [/mm] (Warum?) und nimmt dort nur positive Werte an, so dass wir nach dem oben erwähnten Integralkriterium nun nur die Reihe
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{5/2}*\ln((1/n)+1)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{5/2}*\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{5/2}*\frac{1}{n}*\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)}=\blue{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}*\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)}}$$
[/mm]
auf Konvergenz zu untersuchen brauchen. Weil [mm] $\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right) \to \ln(e)=1$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] (beachte, dass [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to [/mm] e$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] und die Stetigkeit des [mm] $\ln(.)$ [/mm] auf [mm] $(0,\infty)$, [/mm] insbesondere an der Stelle [mm] $e\,$) [/mm] erhälst Du damit die Konvergenz der letztstehenden Reihe (warum?) und somit auch die Existenz des Ausgangsintegrals.
P.S.:
Alternativ kann man auch die Konvergenz der blaugeschriebenen Reihe so einsehen:
[mm] $\ln(.)$ [/mm] ist auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] streng monoton wachsend, und wegen [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \ge [/mm] 2$ $(n [mm] \in \IN)$ [/mm] erkennt man die Konvergenz der blauen Reihe, da sie nur positive Summanden hat und wegen der eben erwähnten Abschätzung auch [mm] $\le \frac{1}{\ln(2)}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}$ [/mm] ist. Die letztstehende Reihe konvergiert (z.B. nachprüfbar mit dem Cauchyschen Verdichtungssatz).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Mi 18.03.2009 | | Autor: | rumpel |
Hey,
vielen Dank erstmal. Das is mir nun soweit alles recht klar. Auch wenn ich zuvor noch nie was vom Integralkriterium gehört hab.. zumindest nich unter dem Namen.
War ne Teilaufgabe von ner Altklausur, auf die es gerade mal 2Punkte gab (von 35) .. weiß nicht, inwieweit der Prof das behandelt hat.. vielleicht sollte man das ganze durch Abschätzen des Betrags der Funktion [mm] \bruch{\wurzel[]{x}}{ln(1+x)} [/mm] beweisen, zumindest hab ich das mittlerweile bei uns so im Skript gefunden.
Lieber Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey,
>
> vielen Dank erstmal. Das is mir nun soweit alles recht
> klar. Auch wenn ich zuvor noch nie was vom
> Integralkriterium gehört hab.. zumindest nich unter dem
> Namen.
> War ne Teilaufgabe von ner Altklausur, auf die es gerade
> mal 2Punkte gab (von 35) .. weiß nicht, inwieweit der Prof
> das behandelt hat.. vielleicht sollte man das ganze durch
> Abschätzen des Betrags der Funktion
> [mm]\bruch{\wurzel[]{x}}{ln(1+x)}[/mm] beweisen, zumindest hab ich
> das mittlerweile bei uns so im Skript gefunden.
wie habt ihr denn [mm] $\ln(1+x)$ [/mm] dann abgeschätzt? Eine kürzere Variante ist mir erst hinterher eingefallen, als ich in der Stadt war:
Nach der Substitution [mm] $y=1/x\,$ [/mm] wird man ja auf das Integral
[mm] $$\int_1^\infty \frac{\sqrt{1/y}}{\ln((1/y)+1)}\cdot{}(1/y)^2\;dy=\blue{\int_1^\infty \underbrace{\frac{1}{y^{3/2}\ln\left(\Big(1+\frac{1}{y}\Big)^y\right)}}_{ > 0\;\;\text{ für alle }y \ge 1}\;dy}$$
[/mm]
geführt, und mit einer analogen Argumentation wie vorhin, nämlich [mm] $\ln(.)$ [/mm] streng monoton wachsend auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] und [mm] $\ln\left(\Big(1+\frac{1}{y}\Big)^y\right) \ge \ln(2)$ [/mm] für alle $y [mm] \ge [/mm] 1$ ist das blaue Integral [mm] $\le \frac{1}{\ln(2)}\int_1^\infty \frac{1}{y^{3/2}}\;dy\,$ [/mm] (alternativ kann man wieder mit der Stetigkeit des [mm] $\ln(.)$ [/mm] an der Stelle [mm] $e\,$ [/mm] und [mm] $\Big(1+\frac{1}{y}\Big)^y \to [/mm] e$ bei $y [mm] \to \infty$ [/mm] argumentieren), und die Existenz des nun verbleibenden Integrals sollte Dir klar sein, ansonsten frag' nochmal nach.
Die Idee ist dann eigentlich analog, nur braucht man hier nicht das Integralkriterium, sondern eine Art Majorantenkriterium für Integrale.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 Fr 20.03.2009 | | Autor: | rumpel |
Hallo,
hab mir, obwohl du die Frage ja schon beantwortet hast, nochma den Kopf über die Aufgabe zerbrochen und bin nun auf diese Lösung gekommen:
Und zwar besagt ja das Vergleichskriterium, dass [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] konvergent ist, falls |f(x)| [mm] \le \bruch{const.}{(x-a)^{\alpha}}.
[/mm]
Nun hab ich f(x) abgeschätzt, und zwar:
|f(x)| = | [mm] \bruch{\wurzel[]{x}}{ln(1+x)} [/mm] |
[mm] \le [/mm] | [mm] \bruch{\wurzel[]{x}}{ln(x)} [/mm] |
[mm] \le [/mm] | [mm] \wurzel[]{x} [/mm] |
= [mm] \bruch{1}{(x )^{-0.5}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{((x - a)^{-0.5}} [/mm] mit a=0
und damit wäre die Konvergenz von [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] bewiesen.
Hoffe, das stimmt soweit.. morgen ist die Klausur.. bin ma gespannt was das gibt 
Lieber Gruß
(Hab das ganze jetzt nochma verbessert...)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Fr 20.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> hab mir, obwohl du die Frage ja schon beantwortet hast,
> nochma den Kopf über die Aufgabe zerbrochen und bin nun auf
> diese Lösung gekommen:
>
> Und zwar besagt ja das Vergleichskriterium, dass
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] konvergent ist, falls |f(x)| [mm]\le \bruch{const.}{(x-a)^{\alpha}}.[/mm]
>
> Nun hab ich f(x) abgeschätzt, und zwar:
>
> |f(x)| = | [mm]\bruch{\wurzel[]{x}}{ln(1+x)}[/mm] |
>
> [mm]\le[/mm] | [mm]\bruch{\wurzel[]{x}}{ln(x)}[/mm] |
>
> [mm]\le[/mm] | [mm]\bruch{\wurzel[]{x}}{x^{2}}[/mm] |
Wie kommst Du denn auf die letzte Abschätzung ???
Die ist sicher falsch, betrachte mal x nahe bei 1
FRED
>
> = | [mm]\bruch{x}{x^2\wurzel{x}}[/mm] | = |
> [mm]\bruch{1}{x\wurzel{x}}[/mm] |
>
> = [mm]\bruch{1}{((x^2x)^{0.5}}[/mm]
>
> und damit wäre die Konvergenz von [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
> bewiesen.
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> Hoffe, das stimmt soweit.. morgen ist die Klausur.. bin ma
> gespannt was das gibt
>
> Lieber Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:32 Fr 20.03.2009 | | Autor: | rumpel |
ohje... das is ja ma totaler Quatsch was ich da geschrieben hab.. das mit dem kleiner-gleich passt ja ma gar nich... Vielleicht sollt man erstma nachdenken bevor man so nen Humbug schreibt... :-S
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Fr 20.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> hab mir, obwohl du die Frage ja schon beantwortet hast,
> nochma den Kopf über die Aufgabe zerbrochen und bin nun auf
> diese Lösung gekommen:
>
> Und zwar besagt ja das Vergleichskriterium, dass
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] konvergent ist, falls |f(x)| [mm]\le \bruch{const.}{(x-a)^{\alpha}}.[/mm]
>
> Nun hab ich f(x) abgeschätzt, und zwar:
>
> |f(x)| = | [mm]\bruch{\wurzel[]{x}}{ln(1+x)}[/mm] |
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> [mm]\le[/mm] | [mm]\bruch{\wurzel[]{x}}{ln(x)}[/mm] |
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> [mm]\le[/mm] | [mm]\wurzel[]{x}[/mm] |
>
> = [mm]\bruch{1}{(x )^{-0.5}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{((x - a)^{-0.5}}[/mm]
> mit a=0
>
> und damit wäre die Konvergenz von [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
> bewiesen.
>
> Hoffe, das stimmt soweit.. morgen ist die Klausur.. bin ma
> gespannt was das gibt
>
> Lieber Gruß
>
>
> (Hab das ganze jetzt nochma verbessert...)
Leider nicht !
Die Ungleichung $|f(x)| [mm] \le \wurzel{x}$ [/mm] ( x [mm] \in [/mm] (0,1) ) ist falsch !
Wenn das richtig wäre, so wäre $ln(x+1) [mm] \ge [/mm] 1$ für x [mm] \in [/mm] (0,1).
Das ist aber für x nahe bei Null falsch !
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Fr 20.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Rumpel,
> Hallo,
>
> hab mir, obwohl du die Frage ja schon beantwortet hast,
> nochma den Kopf über die Aufgabe zerbrochen und bin nun auf
> diese Lösung gekommen:
>
> Und zwar besagt ja das Vergleichskriterium, dass
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] konvergent ist, falls |f(x)| [mm]\le \bruch{const.}{(x-a)^{\alpha}}.[/mm]
die Idee war gut, aber die Ausführung leider nicht. Du kannst hier aber auch folgende Abschätzung machen:
Bekanntlich gilt
[mm] $$1-\frac{1}{x} \le \ln(x)\;\;\; \text{ für alle } [/mm] x > [mm] 0\,,$$
[/mm]
also auch
[mm] $$1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1} \le \ln(x+1)\;\;\; \text{ für alle }x [/mm] > -1 [mm] \text{ und damit insbesondere für alle }x [/mm] > [mm] 0\,.$$
[/mm]
Somit ergibt sich
[mm] $$\int_0^1 \frac{\sqrt{x}}{\ln(x+1)}\;\text{d}x \le \int_0^1 \frac{\sqrt{x}*(x+1)}{x}\;\text{d}x=\int_0^1 x^{1/2}\;\text{d}x\;+\;\int_0^1 x^{-1/2}\;\text{d}x\,.$$
[/mm]
Dabei sollte man die letzte Gleichung aber begründen, also die Existenz der letztstehenden Integrale sollte nachgewiesen werden, was Du nun aber sicher selber hinbekommst.
Gruß,
Marcel
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