Unbestimmte Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Mi 25.02.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe 1 | | Zeigen Sie: [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{sinx}{x^s}dx} [/mm] konvergiert für s > 0 und konvergiert absolut für s > 1 |
| Aufgabe 2 | | Berechnen Sie - wenn möglich - [mm] \integral_{1}^{5}{\bruch{dx}{\wurzel{5-x}}} [/mm] |
| Aufgabe 3 | | Zeigen Sie, dass [mm] \limes_{r\rightarrow\infty}\integral_{-r}^{r}{\bruch{x + sinx}{1+x^2}dx} [/mm] = 0 ist, dass aber [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{x + sinx}{1+x^2}dx} [/mm] nicht existiert. |
Vorweg: Ich habe die Kapitel zu uneigentlichen Integralen, Vertauschung von Grenzprozessen und Taylorentwicklung beim Wiederholen bisher verpennt, habe noch eine Woche bis zur Klausur, die nachzuholen und werde langsam etwas panisch. Ich hoffe, ich kriege das mit eurer Hilfe noch etwas in den Griff. 
Zu Aufgabe 1
Abschätzung: [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{sinx}{x^s}dx} \le \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^s}dx} [/mm] und dieses Integral konvergiert bekanntermaßen für s [mm] \ge [/mm] 1, also das gesuchte Integral für s [mm] \ge [/mm] 1 absolut.
So weit, so gut. Aber für die "nicht-absolute" Konvergenz ist das Majorantenkriterium wenig hilfreich. Wie könnte man hier vorgehen?
Zu Aufgabe 2
Gut, das ist jetzt kein uneigentliches Integral, aber ich wollte hierfür keinen eigenen Thread aufmachen.
[mm] \integral_{1}^{5}{\bruch{dx}{\wurzel{5-x}}} [/mm] = [mm] [2\wurzel{5-x}]_{1}^{5} [/mm] = 2*0 - 2*2 = -4
Als Lösung ist allerdings + 4 angegeben - und es wird über das Integral
[mm] \integral_{1}^{5-\epsilon}{\bruch{dx}{\wurzel{5-x}}} [/mm] = [mm] [-2\wurzel{5-x}]_{1}^{5-\epsilon} [/mm] = [mm] -2\wurzel{\epsilon} [/mm] + 4, was für [mm] \epsilon \rightarrow [/mm] 0 gegen 4 konvergiert gerechnet.
Aber warum so umständlich? Und woher kommt das Minus bei der Aufleitung?
Zu Aufgabe 3
Zunächst: [mm] \bruch{x + sinx}{1+x^2} [/mm] = [mm] \bruch{x}{1+x^2} [/mm] + [mm] \bruch{sinx}{1+x^2}
[/mm]
Hier kann ich praktischerweise die Abschätzung aus Aufgabe 1 "recyclen":
[mm] \bruch{sinx}{1+x^2} \le \bruch{1}{1+x^2}
[/mm]
Und [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{1+x^2} dx} [/mm] = [mm] [arctan(x)]_{0}^{\infty} [/mm] = ?
Auf dem Weg versande ich.
Ich hätte jetzt z.B. noch [mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{x}{1+x^2} dx} \le \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{2x} dx} [/mm] = [0.5 [mm] lnx]_{1}^{x} [/mm] abgeschätzt, dann x gegen unendlich laufen lassen, aber da habe ich ja bisher nur Bruchteile des gesamten Integrals betrachtet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 Do 26.02.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Berechnen Sie - wenn möglich -
> [mm]\integral_{1}^{5}{\bruch{dx}{\wurzel{5-x}}}[/mm]
[...]
> Zu Aufgabe 2
> Gut, das ist jetzt kein uneigentliches Integral, aber ich
> wollte hierfür keinen eigenen Thread aufmachen.
>
> [mm]\integral_{1}^{5}{\bruch{dx}{\wurzel{5-x}}}[/mm] =
> [mm][2\wurzel{5-x}]_{1}^{5}[/mm] = 2*0 - 2*2 = -4
>
> Als Lösung ist allerdings + 4 angegeben - und es wird über
> das Integral
>
> [mm]\integral_{1}^{5-\epsilon}{\bruch{dx}{\wurzel{5-x}}}[/mm] =
> [mm][-2\wurzel{5-x}]_{1}^{5-\epsilon}[/mm] = [mm]-2\wurzel{\epsilon}[/mm] +
> 4, was für [mm]\epsilon \rightarrow[/mm] 0 gegen 4 konvergiert
> gerechnet.
>
> Aber warum so umständlich? Und woher kommt das Minus bei
> der Aufleitung?
Zuerst mal: Vermeide bitte den Begriff Aufleitung, dafür gibt es den Begriff der Stammfunktion.
Leite mal deine Stammfunktion [mm] G(x)=2\wurzel{5-x} [/mm] ab, dann ergibt sich:
[mm] G'(x)=2*\bruch{1}{2\wurzel{5-x}}*(-1) [/mm] (Mit der Kettenregel)
Erkennst du jetzt deinen "Dreher"?
Die [mm] 5-\epsilon [/mm] stammen daher, dass die Funktion [mm] \bruch{1}{\wurzel{5-x}} [/mm] für x=5 nicht definiert ist.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Fr 27.02.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Die Definitionslücke habe ich wohl übersehen.
Danke Dir!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Do 26.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie: [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{sinx}{x^s}dx}[/mm]
> konvergiert für s > 0 und konvergiert absolut für s > 1
> Berechnen Sie - wenn möglich -
> [mm]\integral_{1}^{5}{\bruch{dx}{\wurzel{5-x}}}[/mm]
> Zeigen Sie, dass
> [mm]\limes_{r\rightarrow\infty}\integral_{-r}^{r}{\bruch{x + sinx}{1+x^2}dx}[/mm]
> = 0 ist, dass aber [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{x + sinx}{1+x^2}dx}[/mm]
> nicht existiert.
> Vorweg: Ich habe die Kapitel zu uneigentlichen Integralen,
> Vertauschung von Grenzprozessen und Taylorentwicklung beim
> Wiederholen bisher verpennt, habe noch eine Woche bis zur
> Klausur, die nachzuholen und werde langsam etwas panisch.
> Ich hoffe, ich kriege das mit eurer Hilfe noch etwas in den
> Griff.
>
> Zu Aufgabe 1
>
> Abschätzung: [mm]\integral_{1}^{\infty}\red{{\bruch{sinx}{x^s}}dx} \le \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^s}dx}[/mm]
> und dieses Integral konvergiert bekanntermaßen für s [mm]\ge[/mm] 1,
> also das gesuchte Integral für s [mm]\ge[/mm] 1 absolut.
Korrektur:
[mm] $$\integral_{1}^{\infty}\blue{\left|}{\bruch{sinx}{x^s}}\blue{\right|}dx \le \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^s}dx}$$
[/mm]
> So weit, so gut. Aber für die "nicht-absolute" Konvergenz
> ist das Majorantenkriterium wenig hilfreich. Wie könnte man
> hier vorgehen?
Ich weiß nicht, wo Dein Problem ist. Ist [mm] $f\,$ [/mm] absolut integrierbar, so ist [mm] $f\,$ [/mm] insbesondere integrierbar (vergleichbar mit "jede in [mm] $\IR$ [/mm] absolut konvergente Reihe konvergiert").
Achso, mhm, vll. ist die Problematik, dass [mm] $\,f$ [/mm] nicht auf einem kompakten Intervall definiert ist. Ich denke nachher nochmal drüber nach... bzw.: kennst Du schon Lebesgue-Integrale? Oder sind das bei Euch alles stets Riemann-Integrale?
Edit: Gilt auch für Integrale im Riemann-Sinne, auch auf offenen Intervallen, siehe Link bzw. Mitteilung unten...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 Fr 27.02.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Danke erstmal für deine Hilfe soweit, Marcel.
Ja, es sind allesamt Riemann-Integrale.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Fr 27.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 1) der sin wechselt dauernd das Vorzeichen, fuer 0<s<1 musst du das alternieren beruecksichtigen. d.h. du kannst das Integral fuer grosse x durch eine lebnizreihe abschaetzen, die konvergiert.
Gruss leduart
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Hallo MaRaQ,
zu Aufgabe 3:
Der erste Teil ist noch leicht zu zeigen, wenn Du zeigst, dass der Integrand punktsymmetrisch zum Ursprung ist, also f(-x)=-f(x). Dann ist ja
[mm] \integral_{-r}^{r}{\bruch{x + sinx}{1+x^2}\ dx}=\left(\integral_{-r}^{0}{\bruch{x + sinx}{1+x^2}\ dx}\right)+\left(\integral_{0}^{r}{\bruch{x + sinx}{1+x^2}\ dx}\right)=\left(\integral_{r}^{0}{\bruch{x + sinx}{1+x^2}\ dx}\right)+\left(\integral_{0}^{r}{\bruch{x + sinx}{1+x^2}\ dx}\right)=
[/mm]
[mm] =\left(\integral_{r}^{0}{\bruch{x + sinx}{1+x^2}\ dx}\right)+\left(\integral_{0}^{r}{\bruch{x + sinx}{1+x^2}\ dx}\right)=-\left(\integral_{0}^{r}{\bruch{x + sinx}{1+x^2}\ dx}\right)+\left(\integral_{0}^{r}{\bruch{x + sinx}{1+x^2}\ dx}\right)=0 [/mm]
Das gilt für jedes endliche r, also auch noch für [mm] r\rightarrow\infty.
[/mm]
Dass (2. Aufgabenteil) [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{x + sinx}{1+x^2}\ dx} [/mm] nicht existiert, ist so zu zeigen:
Betrachte [mm] \integral_{0}^{r}{\bruch{x + sinx}{1+x^2}\ dx} [/mm] und weise nach, dass für [mm] r\rightarrow\infty [/mm] das Integral ebenfalls gegen [mm] \infty [/mm] geht.
Dann wäre der Wert des gesuchten [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{x + sinx}{1+x^2}\ dx}=\infty-\infty
[/mm]
...und das ist nicht definiert, also auch nicht existent.
![[]](/images/popup.gif) Wolfram Integrator gibt eine komplexe Darstellung des Integrals an, die u.a. den Integralcosinus beinhaltet. Es wird genügen, diesen Funktionsteil zu betrachten.
Unter Klausurbedingungen wäre das zuviel verlangt, aber da wird genügen, wenn Du zur Abschätzung nach oben und unten
[mm] \integral{\bruch{x + 1}{1+x^2}\ dx} [/mm] und [mm] \integral{\bruch{x - 1}{1+x^2}\ dx}
[/mm]
verwendest, die ja noch einigermaßen "machbar" zu bestimmen sind. Wenn ich's recht überlege, ist das vielleicht sowieso die bessere Idee...
Grüße,
reverend
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