Unbest. Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Do 19.10.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Bestimmen Sie folgendes Integral:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x + x^{4}} dx} [/mm] |
Hallo!
Eine schlaue Formelsammlung verrät mir:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x (1+ x^{3})} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ln [mm] \bruch{x^{3}}{1 + x^{3}}
[/mm]
Differenzieren ergibt, das dies auch stimmt.
Aber wie kann ich das Integral selbst lösen? Partielle Integration und Substitution kommen wohl nicht in Frage, Partialbruchzerlegung will mir auch nicht gelingen.
Kann mir einer weiterhelfen? Danke euch!
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Hiho,
Partialbruchzerlegung war schon der richtige Ansatz.
Ich geb dir mal nen Hinweis, mal gucken, ob du dann von allein weiterkommst
[mm] \bruch{1}{x(1+x^3)} [/mm] = [mm] \bruch{x^2 * 1}{x^3(1+x^3)} [/mm] = [mm] \bruch{x^2 * (1 + x^3 - x^3)}{x^3(1+x^3)}
[/mm]
Kommst nun alleine weiter?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Fr 20.10.2006 | | Autor: | papillon |
Ok, vielen Dank. Der Trick mit dem aufspalten und erweitern hat mir gefehlt. Dann komme ich auf das gesuchte Ergebnis, nämlich
ln|x| - [mm] \bruch{1}{3} ln|1+x^{3}|
[/mm]
Wenn ich jetzt noch das unbestimmte Integral von -0,5 bis 0,5 bestimmen soll, gehe ich doch folgendermaßen vor:
Ich bestimme die singulären punkte und teile das integral entsprechend auf, untersuche dann die beiden Grenzwerte. (Bei mir ergibt dies, dass das integral nicht konvergiert).
Jedoch konvergiert das Integral im sinne des Hauptwertes gegen [mm] \bruch{1}{3} ln|\bruch{7}{9}| [/mm] .
Kann das jemand bestätigen, oder habe ich mich verrechnet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Sa 21.10.2006 | | Autor: | eszet |
Man kann die Stammfunktion, die in deiner Formelsammlung angegeben wird, meiner Meinung nach einfacher und ohne Tricks finden, indem man
[mm] t=x^{3}
[/mm]
substituiert und danach eine Partialbruchzerlegung durchführt.
Das Integral konvergiert auch bei mir nicht und
als Hauptwert bekomme ich ebenfalls [mm] \bruch{1}{3}*ln (\bruch{7}{9}) [/mm] heraus. 
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