Unabhängigkeit zweier ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Sa 08.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Zwei diskrete Zufallsvariablen X, [mm] Y:\Omega\rightarrow \overline{\IR}:=\IR\cup{\{-\infty,\infty\}} [/mm] heißen unabhängig genau dann, wenn gilt:
[mm] \forall{a}\in{X[\Omega]}\text{ }\forall{b}\in{Y[\Omega]}: P[\{X=a\}\cap{\{Y=b\}}]=P[X=a]\cdot{P[Y=b]}
[/mm]
Zeigen Sie, dass aus obiger Definition folgt:
[mm] \forall{A}\subseteq{X[\Omega]}\text{ }\forall{B}\subseteq{Y[\Omega]}: P[\{X\in{A}\}\cap{\{Y\in{B}\}}]=P[X\in{A}]\cdot{P[Y\in{B}]} [/mm] |
Hallo Leute,
also ich weiß ja, dass [mm] A=\bigcup_{a\in{A}}{a} [/mm] bzw. [mm] B=\bigcup_{b\in{B}}{b} [/mm] aber abgesehn davon hab ich keinerlei Idee wie ich hier anfangen soll.
Also ein kleiner Tipp, der die Sache ins Rollen bringt, würd mir schon reichen.
Vielen Dank schon mal!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Sa 08.05.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin ,
[mm] $P((X\in A)\cap (Y\in B))=P(\bigcup_{a\in A}(X\in\{a\})\cap \bigcup_{b\in
B}(Y\in\{a\}))=\ldots$
[/mm]
Nutze den Riemannschen Umordnungssatz.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Sa 08.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hmm... ich bin nicht ganz sicher wie mir hierbei der Umordnungssatz von Riemann weiterhilft.
Könntest du noch an Tick konkreter werden?? Das wär toll.
Danke vielmals!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Sa 08.05.2010 | | Autor: | luis52 |
>
> Könntest du noch an Tick konkreter werden?? Das wär
> toll.
Wie weit hast du denn die Gleichungen weiter fortgefuehrt?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Sa 08.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Mein Problem ist, dass mir der Umordnungssatz ja eine Aussage über bedingt konvergente Reihen liefert und ich jetzt nicht weiß wie ich die Vereinigungen in der Gleichung in Reihen "umwandeln" kann. Ich kann ja jetzt schlecht zwei Reihen schneiden.
Zudem hätte ich hierbei ja endliche Reihen und keine unendlichen wie im Riemannschen Umordnungsatz gefordert.
Also du siehst ich bin irgendwie planlos und weiß mir im Moment nicht so recht zu helfen.
Da wär an zusätzlicher Tipp echt klasse, wenn du einen parat hast?! Dank dir schon vielmals!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Sa 08.05.2010 | | Autor: | luis52 |
>
> Also du siehst ich bin irgendwie planlos und weiß mir im
> Moment nicht so recht zu helfen.
Moin ,
Alles muss man selber machen! :-(
[mm] \begin{matrix} P((X\in A)\cap (Y\in B)) &=&P(\bigcup_{a\in A}(X\in\{a\})\cap \bigcup_{b\in B}(Y\in\{b\})) \\ &=&P(\bigcup_{a\in A}\bigcup_{b\in B}(X\in\{a\})\cap (Y\in\{b\})) \\ &=&\sum_{a\in A}\sum_{b\in B}P((X\in\{a})\cap (Y\in\{b\})) \\ &=&\sum_{a\in A}\sum_{b\in B}P((X\in\{a}))P(Y\in\{b\}) \\ &=&\sum_{a\in A}P((X\in\{a}))\sum_{b\in B}P(Y\in\{b\}) \\ &=&P(X\in A)P(Y\in B) \end{matrix}
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:11 So 09.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Also ers mal herzlichen Dank für die Hilfe und die Eselsgeduld!! Mir war schlicht nicht klar, dass gilt
[mm] \bigcup_{a\in A}(X\in\{a\})\cap \bigcup_{b\in B}(Y\in\{b\}) \\ &=&\bigcup_{a\in A}\bigcup_{b\in B}(X\in\{a\})\cap (Y\in\{b\}) \\ [/mm]
Gut der Rest folgt dann sozusagen auf dem Fuß :).
Sorry für meine Gedanken- bzw. Wissenslücke, aber das werd ich zumindest in Zukunft nich mehr vergessen!
Vielen Dank nochmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:33 So 09.05.2010 | | Autor: | luis52 |
> Sorry für meine Gedanken- bzw. Wissenslücke, aber das
> werd ich zumindest in Zukunft nich mehr vergessen!
Schon okay. Alles Gute.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 So 09.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Sorry, ich muss jetzt doch nochmal nachhaken, weil mich das die Nacht über doch arg beschäftigt hat.
Allerdings komm ich allein nicht dahinter. Und zwar ist mir nicht ganz klar wo genau hierbei jetzt der Riemannsche Umordnungssatz zum Zuge kommt. Wenn mir das vielleicht noch jemand erklären könnte, wäre mein Sonntag gerettet :).
Vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 So 09.05.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
es geht um den vorletzten Schritt und der Frage ob ich die innere Summe ""hineinziehen" darf. Laut
@misc{rudin1976principles,
title={{Principles of mathematical analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics}},
author={Rudin, W.},
year={1976},
publisher={McGraw-Hill Book Co., New [mm] York-Auckland-D{\ü}sseldorf}
[/mm]
}
geht der entsprechende Satz auf Mertens und nicht Riemann zurueck. Jetzt muss ich mich wohl entschuldigen.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 So 09.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Achwas kein Thema! Vielen Dank für die Antwort und schönen Sonntag noch!!
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