Unabhängigkeit von si-Algebren < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega, \mathcal{A},P) [/mm] ein W-Raum; n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] A_{1}, [/mm] .. , [mm] A_{n+1} [/mm] eine Folge Unter-sigma-Algebren von [mm] \mathcal{A}. [/mm] Setze [mm] A_{0}:= \sigma(A_{1} \cup [/mm] ... [mm] \cup A_{n}). [/mm] Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind:
i) [mm] A_{1},..,A_{n} [/mm] und [mm] A_{0}, A_{n+1} [/mm] sind P-unabhängig
ii) [mm] A_{1},..,A_{n+1} [/mm] sind P-unabhängig |
Hallo,
die Aufgabe habe ich aus einem Buch und würde sie erstmal so lösen:
--> Wenn man [mm] A_{0} [/mm] = [mm] K_{1} [/mm] und [mm] A_{n+1} [/mm] = [mm] K_{2} [/mm] setzt, dann ist [mm] K_{1}, K_{2} [/mm] eine P-unabhängige Familie von Mengensystemen. Insbesondere sind beide durchschnittsstabil [mm] (A_{n+1}, A_{0} [/mm] sind ja beide [mm] \sigma-Algebren). [/mm] Dann folgt das [mm] \sigma(K_{i}) [/mm] für i [mm] \in [/mm] {1,2} eine unabhängige Familie ist. Da [mm] A_{1},..,A_{n+1} \subseteq \sigma(K_{i}) [/mm] folgt damit die Richtung der Behauptung.
<-- Ist nun [mm] A_{1},..,A_{n+1} [/mm] P-unabhängig, dann folgt daraus schon unmittelbar, dass die [mm] A_{1},..,A_{n} [/mm] P-unabhängig sind (denn allgemein gilt: Ist I:={1,...,n+1} und [mm] K_{i} [/mm] ist für alle i P-unabhängig, dann ist [mm] K_{j} [/mm] mit j [mm] \in [/mm] J unabhängig, wobei J eine nicht-leere, endliche Teilmenge von I ist (das hatten wir in der Vorlesung)). Da nun [mm] A_{1} [/mm] und [mm] A_{n} [/mm] P-unabhängig sind, folgt aber auch die P-Unabhängigkeit von [mm] A_{0} [/mm] (denn { {1},..,{n} } ist eine Partition von I = {1,..,n}). Bleibt also nur noch zu zeigen, dass [mm] A_{0} [/mm] von [mm] A_{n+1} [/mm] P-unabhängig ist. Da bin ich mir aber nicht so sicher, woraus ich das schließen kann.
Ist das bisher so richtig und hat jemand einen Tip für den Rest?
Vielen Dank, Steffen
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 12.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
