Unabhängigkeit von Vektoren < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Fr 16.07.2010 | | Autor: | jooo |
Was für möglichkeiten habe ich herauszufinden ob die Vektoren unabhängig sind!
[mm] a=\vektor{2\\ 0\\1}
[/mm]
[mm] b=\vektor{3\\ 1\\1}
[/mm]
[mm] c=\vektor{0\\ 2\\2}
[/mm]
Gruß jooo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Fr 16.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Was für möglichkeiten habe ich herauszufinden ob die
> Vektoren unabhängig sind!
>
> [mm]a=\vektor{2\\ 0\\1}[/mm]
>
> [mm]b=\vektor{3\\ 1\\1}[/mm]
>
> [mm]c=\vektor{0\\ 2\\2}[/mm]
ich hoffe, dass der momentan antwortende eine andere Idee vorschlägt, aber wenn Du die Matrix
[mm] $$A=(a,b,c)\,$$
[/mm]
bildest (alternativ könnte man auch [mm] $\pmat{a^t\\b^t\\c^t}$ [/mm] bilden), so ist das eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix (mit [mm] $n=3\,.$) [/mm] Die Spalten einer solchen sind genau dann linear unabhängig, wenn [mm] $\det [/mm] A [mm] \not=0$ [/mm] ist.
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Fr 16.07.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du mehrere Vektoren [mm] \vec{v_{1}},\vec{v_{2}},\ldots [/mm] hast, sind sie Linear  unabhängig, wenn du keinen geschlossenen Vektorzug bilden kannst, es also für das Gleichungssystem
[mm] \vec{0}=\summe_{i=1}^{n}\vec{v_{i}} [/mm] nur die Lösung $ [mm] k_{i}=0\forall [/mm] i $ gibt.
Prüfe also hier, ob es für das Gleichungssystem
[mm] \lambda*\vektor{2\\0\\1}+\mu*\vektor{3\\1\\1}+\nu*\vektor{0\\2\\2}=\vektor{0\\0\\0} [/mm] andere Lösungen als [mm] \lambda=\mu=\nu=0 [/mm] gibt. Ist das der Fall, sind die Vektoren linear abhängig, bekommst du nur die sogenannte triviale Lösung ( [mm] \lambda=\mu=\nu=0 [/mm] ) sind die Vektoren liner unabhängig.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Fr 16.07.2010 | | Autor: | jooo |
Verstehe ich nicht ganz!
Folgende Lösungswege sind mir klar:
1.Die lösung über D=0 bzw. [mm] D\not=0 [/mm] ist mir klar!
2.Rang bestimmen über Zeiilenstufenform und daraus dann die Abhängigkeit bzw Unabhängigkeit zu erkennen.
Aber was meinst du?
2 [mm] \gamma+3\mu=0 [/mm] --> [mm] \gamma=-(3/2)\mu
[/mm]
[mm] 1\mu [/mm] +2v=0 ----> [mm] \mu=-2v
[/mm]
1 [mm] \gamma+1\mu+2v=0--> v=\bruch{-\gamma-1\mu}{2}
[/mm]
Aber was hilft mir dies?
Gruß Jooo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Fr 16.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Verstehe ich nicht ganz!
> Folgende Lösungswege sind mir klar:
> 1.Die lösung über D=0 bzw. [mm]D\not=0[/mm] ist mir klar!
> 2.Rang bestimmen über Zeiilenstufenform und daraus dann
> die Abhängigkeit bzw Unabhängigkeit zu erkennen.
>
> Aber was meinst du?
> 2 [mm]\gamma+3\mu=0[/mm] --> [mm]\gamma=-(3/2)\mu[/mm]
> [mm]1\mu[/mm] +2v=0 ----> [mm]\mu=-2v[/mm]
> 1 [mm]\gamma+1\mu+2v=0--> v=\bruch{-\gamma-1\mu}{2}[/mm]
ich denke, dass diese Umstellungen rechterhand gemacht wurden, damit Du (durch "induktives einsetzen") die Lösungsmenge dieses GLS bestimmen kannst.
Aber:
Du kannst auch die Gleichungen linkerhand als GLS benutzen und dieses mit z.B. dem Gaußverfahren lösen.
Beste Grüße,
Marcel
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