Unabhängigkeit von Ereignissen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 So 09.01.2011 | | Autor: | Kyrill87 |
| Aufgabe | Es sei [mm] (\Omega, \varepsilon,P) [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum und C [mm] \in \varepsilon [/mm] mit P(C) > 0. Weiter seien auch A,B Ereignisse.
Wir sagen, dass A,B ”unabhängig relativ zu C“ sind, wenn A [mm] \cap [/mm] C,B [mm] \cap [/mm] C im Wahrscheinlichkeitsraum (C, [mm] \varepsilon_{C}, P_{C}) [/mm] unabhängig sind.
Man beweise:
Sind die Ereignisse A,B,C unabhängig, so sind A,B auch unabhängig relativ zu C. |
Hallo erstmal,
ich weiß, dass [mm] \varepsilon_{C} [/mm] die Menge aller E [mm] \cap [/mm] C ist,
wobei E alle Ereignisse durchläuft,
und [mm] P_{C} [/mm] ist durch [mm] E\cap C=P(E\cap [/mm] C)/P(C) definiert.
weiter weiß ich, dass wenn A,B,C unabhängig sind, folgendes gilt:
[mm] P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot [/mm] P(C)
Ich denke mal jetzt müsste ich zeigen, dass:
[mm] A\cap C=P(A\cap C)/P(C)=\bruch{P(A)\cdot P(C)}{P(C)}=\bruch{P(A)}{P(C)} [/mm] unabhängig zu
[mm] B\cap C=P(B\cap C)/P(C)=\bruch{P(B)\cdot P(C)}{P(C)}=\bruch{P(B)}{P(C)} [/mm] ist.
Aber wie mach ich das, ode ist das schon falsch?
Ich bin dankbar für jeden Tip  .
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Hallo Kyrill87!
> Es sei [mm](\Omega, \varepsilon,P)[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum
> und C [mm]\in \varepsilon[/mm] mit P(C) > 0. Weiter seien auch A,B
> Ereignisse.
> Wir sagen, dass A,B ”unabhängig relativ zu C“ sind,
> wenn A [mm]\cap[/mm] C,B [mm]\cap[/mm] C im Wahrscheinlichkeitsraum (C,
> [mm]\varepsilon_{C}, P_{C})[/mm] unabhängig sind.
>
> Man beweise:
> Sind die Ereignisse A,B,C unabhängig, so sind A,B auch
> unabhängig relativ zu C.
>
> Hallo erstmal,
>
> ich weiß, dass [mm]\varepsilon_{C}[/mm] die Menge aller E [mm]\cap[/mm] C
> ist,
> wobei E alle Ereignisse durchläuft,
> und [mm]P_{C}[/mm] ist durch [mm]E\cap C=P(E\cap[/mm] C)/P(C) definiert.
[mm] $P_C$ [/mm] fehlt!
[mm] $P_C (E\cap [/mm] C):= [mm] \frac{P(E\cap C)}{P(C)}$
[/mm]
>
> weiter weiß ich, dass wenn A,B,C unabhängig sind,
> folgendes gilt:
>
> [mm]P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot[/mm] P(C)
Nach Voraussetzung gilt beispielsweise auch noch
[mm] $P(A\cap [/mm] B) = P(A)P(B)$
>
> Ich denke mal jetzt müsste ich zeigen, dass:
>
> [mm]A\cap C=P(A\cap C)/P(C)=\bruch{P(A)\cdot P(C)}{P(C)}=\bruch{P(A)}{P(C)}[/mm]
Ein [mm] $P_C$ [/mm] fehlt, ein $P(C)$ zuviel!
> unabhängig zu
> [mm]B\cap C=P(B\cap C)/P(C)=\bruch{P(B)\cdot P(C)}{P(C)}=\bruch{P(B)}{P(C)}[/mm]
Ein [mm] $P_C$ [/mm] fehlt, ein $P(C)$ zuviel!
> ist.
>
> Aber wie mach ich das, ode ist das schon falsch?
>
> Ich bin dankbar für jeden Tip .
>
Einfach die zu zeigende Unabhängigkeit relativ zu $C$ ordentlich aufschreiben:
[mm] $P_C ((A\cap C)\cap (B\cap [/mm] C)) = [mm] P_C(A\cap C)P_C(B\cap [/mm] C)$
Die Definition von [mm] $P_C$ [/mm] einsetzen, Unabhängigkeit von $A,B,C$ ausnutzen und schon [mm] \ldots
[/mm]
LG mathfunnel
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