matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-StochastikUnabhängigkeit von Ereignissen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Stochastik" - Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Ereignissen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Unabhängigkeit von Ereignissen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Fr 13.11.2009
Autor: Peon

Aufgabe
Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P}) [/mm] sowie die Ereignisse A, B, C [mm] \in \mathcal{A}. [/mm] Zeigen Sie:

b) Aus der jeweils paarweise Unabhängigkeit von A, B und C folgt im Allgemeinen nicht die Unabhängigkeit von A, B, und C.

c) Aus der Beziehung [mm] P(A\cap B\cap [/mm] C) = P(A)P(B)P(C) folgt im Allgemeinen nicht die jeweils paarweise Unabhängigkeit von A, B und C.

Also ich habe als Tipp zu beiden Teilaufgaben, dass man ein Gegenbeispiel finden muss, ist ja auch bei dieser Art von Aufgabe logisch.
Außerdem habe ich den Hinweis, dass man sich zu b) ein [mm] \Omega_{b}=\{\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3},\omega_{4}\} [/mm] und zu c) ein [mm] \Omega_{c}=\{\omega_{1},\omega_{2}\} [/mm] konstruieren soll, aber damit komme ich nicht weiter.
Hat vielleicht jemand einen Tipp?
Danke

# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Unabhängigkeit von Ereignissen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:19 Sa 14.11.2009
Autor: vivo

Hallo,

betrachte zweifachen Münzwurf und die Ereignisse:

A:= 1. Wurf Kopf
[mm] B_1:= [/mm] 1. Wurf Kopf
[mm] B_2:= [/mm] 1. und 1. Wurf gleich

[mm] P(A)=P(B_1)=P(B_2)=0,5 [/mm]

und

[mm] P(A\cap B_1)=P(A\cap B_2)=P(B_1\cap B_2)=0,25 [/mm]

ABER

0,25= [mm] P(A\cap B_1 \cap B_2)\not= P(A)P(B_1)P(B_2) [/mm]

Bezug
                
Bezug
Unabhängigkeit von Ereignissen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:27 Sa 14.11.2009
Autor: Peon

Hi, danke für die Antwort,

kannst du mir das Ereigniss [mm] B_{1} [/mm] und [mm] B_{2} [/mm] etwas genauer erläutern, ich verstehe nicht, wie 1. und 1. Wurf nicht gleich sein sollen, also wäre ja [mm] P(B_{2})=1 [/mm] oder? SInd die Ereignisse dann überhaupt noch paarweise unabhängig?

Danke

Bezug
                        
Bezug
Unabhängigkeit von Ereignissen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Sa 14.11.2009
Autor: steppenhahn

Hallo!

vivo meinte (wahrscheinlich) Folgendes:

Experiment: Zweifacher Münzwurf.

- Ergebnismenge [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{(K,K),(K,Z),(Z,K),(Z,Z)\}$ [/mm]

- Ereignisse:

$A = [mm] \mbox{1. Wurf Kopf} [/mm] = [mm] \{(K,Z),(K,K)\}$ [/mm]
$B = [mm] \mbox{2. Wurf Kopf} [/mm] = [mm] \{(Z,K), (K,K)\}$ [/mm]
$C = [mm] \mbox{1. und 2. Wurf gleiches Ergebnis} [/mm] = [mm] \{(K,K),(Z,Z)\}.$ [/mm]

Weil [mm] \IP, [/mm] die Wahrscheinlichkeitsverteilung, in diesem Fall ja klar Laplace-verteilt ist (also wenn es faire Münzen sind, wovon wir in diesem Gegenbeispiel natürlich ausgehen!), ist

[mm] $\IP(A) [/mm] = [mm] \IP(B) [/mm] = [mm] \IP(C) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm]

Außerdem ist [mm] $\IP(A\cap [/mm] B) = [mm] \IP(A\cap [/mm] C) = [mm] \IP(B\cap [/mm] C) = [mm] \frac{1}{4}$ [/mm] (Prüfe das nach!).

Damit folgt sofort [mm] $\IP(A)*\IP(B) [/mm] = [mm] \IP(A\cap [/mm] B)$, usw, also sind A,B,C jeweils paarweise voneinander unabhängig.

Damit A,B,C aber alle drei gemeinsam unabhängig sind, müsste unter anderem gelten:

[mm] $\frac{1}{4} [/mm] = [mm] \IP(\{(K,K)\}) [/mm] = [mm] \IP(A\cap B\cap [/mm] C) = [mm] \IP(A)*\IP(B)*\IP(C) [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{2}\right)^{3} [/mm] = [mm] \frac{1}{8}$, [/mm]

was ja aber offensichtlich nicht erfüllt ist.

Grüße,
Stefan

Bezug
                                
Bezug
Unabhängigkeit von Ereignissen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:41 Sa 14.11.2009
Autor: Peon

Super danke, jetzt ist mir alles klar. Die Wkt. der Schnitteregnisse sind ja immer nur die Wkt für (KK), also 1/4.

Habt ihr auch evtl. eine Idee für ein Gegenbeispiel zur c).

Danke

Bezug
                                        
Bezug
Unabhängigkeit von Ereignissen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:01 Sa 14.11.2009
Autor: steppenhahn

Hallo!

Zusammen mit dem Tipp, dass die Ergebnismenge nur aus zwei Elementen besteht, ist das doch nicht so schwer, oder?

Zum Beispiel [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{0,1\}$, \IP [/mm] Laplace-verteilt.
$A = [mm] \emptyset$, [/mm] $B = [mm] \{0\}$, [/mm] $C = [mm] \{1\}$. [/mm]

Betrachte de Unabhängigkeit von B und C.

Grüße,
Stefan

Bezug
                                                
Bezug
Unabhängigkeit von Ereignissen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Sa 14.11.2009
Autor: Peon

Hey,

ergeben sich mit deinen Angaben folgenden Werte?:

P(A)=0 , [mm] P(B)=\bruch{1}{2}, P(C)=\bruch{1}{2} [/mm]

=> [mm] P(A\cap [/mm] B)=0=P(A)P(B)
[mm] \wedge P(A\cap [/mm] C)=0=P(A)P(C)
[mm] \wedge P(B\cap C)=0\not=\bruch{1}{4}=P(B)P(C) [/mm]

Ist das so richtig?
Kannst du das Beispiel auf eine reale Situation übertragen, also wo die o.g. Ereignisse eintreffen, so dass ich mir das besser vorstellen kann?

DANKE

Bezug
                                                        
Bezug
Unabhängigkeit von Ereignissen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Sa 14.11.2009
Autor: steppenhahn

Hallo!

> Hey,
>  
> ergeben sich mit deinen Angaben folgenden Werte?:
>  
> P(A)=0 , [mm]P(B)=\bruch{1}{2}, P(C)=\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> => [mm]P(A\cap[/mm] B)=0=P(A)P(B)
>  [mm]\wedge P(A\cap[/mm] C)=0=P(A)P(C)
>  [mm]\wedge P(B\cap C)=0\not=\bruch{1}{4}=P(B)P(C)[/mm]
>  
> Ist das so richtig?

Ja, deine Rechnungen sind richtig. Weißt du, warum nun folgt dass A,B,C nicht gemeinsam stochastisch unabhängig?

>  Kannst du das Beispiel auf eine reale Situation
> übertragen, also wo die o.g. Ereignisse eintreffen, so
> dass ich mir das besser vorstellen kann?

Naja, wenn ein Ereignis die leere Menge ist, ist es immer etwas schwierig (denn leere Menge heißt ja, das Ereignis ist unmöglich). Aber zum Beispiel ein Münzwurf, 0 = Kopf, 1 = Zahl, und es gibt nur die Ausgänge Kopf und Zahl.

A = [mm] \emptyset [/mm] = Die Münze landet auf dem Rand (unmöglich nach Voraussetzung!)
B = [mm] \{0\} [/mm] = Kopf
C = [mm] \{1\} [/mm] = Zahl

Grüße,
Stefan


Bezug
                                                                
Bezug
Unabhängigkeit von Ereignissen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:58 Sa 14.11.2009
Autor: Peon

An das Beispiel mit dem Münzwurf habe ich auch gedacht (so wie bei dem Asterix-Film, wobei da die Münze auf dem Rand liegen bleibt...;))
Naja es ist insofern nich unabhängig als das die Bedingung [mm] P(B\cap [/mm] C) = P(B)P(C) nicht erfüllt ist und das muss ja bei Unabhängigkeit gelten (Hatten wir in nem Satz oder Def.)

Vielen Dank

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]