Unabhängigkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Mo 29.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | Sei A, B [mm] \in \mathcal{A} [/mm] |
Hallo,
ich möchte wissen ob wenn A, B [mm] \in \mathcal{A} [/mm] sind und unabhängig sind, gilt dann auch [mm] A^{C} [/mm] B unabhängig ist?
Weil eigentlich ja nicht... oder? Weil [mm] A^{C} [/mm] schließt ja B mit ein und somit sind diese ja nicht mehr disjunkt. Oder?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Mo 29.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Ali,
> ich möchte wissen ob wenn A, B [mm]\in \mathcal{A}[/mm] sind und
> unabhängig sind, gilt dann auch [mm]A^{C}[/mm] B unabhängig ist?
Ich nehme mal an, du meinst mit Unabhängigkeit stochastische Unabhängigkeit.
Dann gilt dieser Zusammenhang.
> Weil eigentlich ja nicht... oder? Weil [mm]A^{C}[/mm] schließt ja B
> mit ein und somit sind diese ja nicht mehr disjunkt. Oder?
Stochastische Unabhängigkeit hat nichts mit Disjunktheit zu tun!
(Im Gegenteil: Zeige, dass im Falle $A$ und $B$ disjunkt und $P(A),P(B)>0$ die Ereignisse $A$ und $B$ gerade NICHT stochastisch unabhängig sind.)
Wie ist die stochastische Unabhängigkeit von $A$ und $B$ definiert?
Wie ist also stochastische Unabhängigkeit von [mm] $A^c$ [/mm] und $B$ definiert?
Zeige letztere unter der Voraussetzung, dass $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind und unter Verwendung von [mm] $P(A^c)=1-P(A)$.
[/mm]
Noch ein paar Worte zur Intuition von stochastischer Unabhängigkeit:
Im Falle $P(A)>0$ sind $A$ und $B$ genau dann stochastisch unabhängig, wenn $P(B|A)=P(B)$, also wenn das Wissen, dass $A$ eingetreten ist, das Eingetreten-Sein von $B$ weder wahrscheinlicher noch unwahrscheinlicher macht.
Sind $A$ und $B$ mit $P(A),P(B)>0$ disjunkt, so würde das Eintreten von $A$ ja das Eingetreten-Sein von $B$ unmöglich machen. Daher sollten $A$ und $B$ stochastisch abhängig sein.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
