Unabhängigkeit? < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 So 06.01.2013 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Man betrachte einen zweimaligen Würfelwurf. Sind die Ereignisse "Summe der beiden Augenzahlen gleich 8" und "Betrag der Differenz der beiden Augenzahlen gleich 2" unabhängig? |
Hi Leute!
Ich hab so angefangen:
[mm] $A_1 =\{ (2,6); (3,5); (4,4); (5,3); (6,2) \} \Rightarrow P(A_1) [/mm] = [mm] \frac{5}{36}$
[/mm]
[mm] $A_2 [/mm] = [mm] \{ (6,4); (5,3); (4,2); (3,1); (1,3); (2,4); (3,5); (4,6) \} \Rightarrow P(A_2) [/mm] = [mm] \frac{8}{36}$
[/mm]
Soweit sollte das doch stimmen, oder? Aber was muss ich jetzt noch tun, um die stochastische Unabhängigkeit herauszufinden?
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Hiho,
bestimme nun noch [mm] $A_1 \cap A_2$ [/mm] und untersuche, ob [mm] $\IP(A_1 \cap A_2) [/mm] = [mm] \IP(A_1)*\IP(A_2)$ [/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 So 06.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Danke!
Die Frage ist nun nur noch, welches Rechenvorschrift hinter [mm] $P(A_1 \cap A_2)$ [/mm] liegt...; darüber schweigt sich nämlich meine FS aus.
In meiner Formelsammlung habe ich gerade auch das hier gefunden:
Stochastisch unabhängig bedeutet, wenn gilt
[mm] $P(A_1 \cap A_2) [/mm] = [mm] P(A_1)P(A_2)$
[/mm]
andernfalls heißen die Ereignisse abhängig.
Ich probiers mal dennoch:
[mm] $\Rightarrow P(A_1 \cap A_2) [/mm] = [mm] P(A_1)P(A_2)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \frac{|A_1 \cdot A_2|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{|A_1|}{|\Omega|} \cdot \frac{|A_2|}{|\Omega|}
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \frac{5 \cdot 8}{36} \neq \frac{5}{36} \cdot \frac{8}{36}
[/mm]
Dann ist das ganze wohl stochastisch abhängig?
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Mit [mm] A_1 \cap A_2 [/mm] ist die Schnittmenge der beiden Mengen A1 und A2 gemeint. In der Schnittmenge sind die Ereignisse die sowohl in A1 als auch in A2 sind.
zb. ist das Element (5,3) in A1 aber auch in A2 und somit in der Schnittmenge. Wohingegen das Element (4,4) nur in A1 ist und damit nicht in der Schnittmenge liegt.
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Hiho,
> Die Frage ist nun nur noch, welches Rechenvorschrift hinter [mm]P(A_1 \cap A_2)[/mm] liegt...
Wieso Rechenvorschrift?
Du sollst das Maß einer Menge bestimmen, nämlich der Menge [mm] $A_1\cap A_2$.
[/mm]
Dazu solltest du diese Menge erstmal bestimmen!
Wie das geht, wurde dir ja in der anderen Antwort schon gesagt.
> Stochastisch unabhängig bedeutet, wenn gilt
>
> [mm]P(A_1 \cap A_2) = P(A_1)P(A_2)[/mm]
>
> andernfalls heißen die Ereignisse abhängig.
Das sollst du ja gerade in der Aufgabe herausfinden, ob das gilt.
> Ich probiers mal dennoch:
>
> [mm]\Rightarrow P(A_1 \cap A_2) = P(A_1)P(A_2)[/mm]
>
> [mm]$\Leftrightarrow \frac{|A_1 \cdot A_2|}{|\Omega|}[/mm] = [mm]\frac{|A_1|}{|\Omega|} \cdot \frac{|A_2|}{|\Omega|}[/mm]
Warum sollte das Maß der Menge [mm] $A_1 \cap A_2$ [/mm] gleich [mm] \frac{|A_1 \cdot A_2|}{|\Omega|} [/mm] sein?
Das stimmt im Allgemeinen nicht.
Was ist das überhaupt für ein Ausdruck [mm] $|A_1 [/mm] * [mm] A_2|$ [/mm] ?
Wie willst du Mengen miteinander multiplizieren?
Wenn du allerdings [mm]\frac{|A_1 \cap A_2|}{|\Omega|}[/mm] geschrieben hättest, wär es richtig gewesen 
Nur das ist ja nicht (wie du hingeschrieben hast) [mm] $\bruch{5*8}{36}$.
[/mm]
Geht ja auch schlecht, da [mm] $\bruch{5*8}{36}>1$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mo 07.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Das Problem ist ja weil ich nicht weiß, was hinter $ [mm] \frac{|A_1 \cap A_2|}{|\Omega|} [/mm] $ überhaupt für eine Berechnung steckt. Ich habe immer gedacht, dass ein "geschnitten" eben mit einem "Mal" übersetzt wird...
Verstehst du?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Mo 07.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Das Problem ist ja weil ich nicht weiß, was hinter
> [mm]\frac{|A_1 \cap A_2|}{|\Omega|}[/mm] überhaupt für eine
> Berechnung steckt. Ich habe immer gedacht, dass ein
> "geschnitten" eben mit einem "Mal" übersetzt wird...
>
> Verstehst du?
Nee, macht aber nix.
[mm] $A_1 \cap A_2=\{x: x \in A_1 \wedge x \in A_2 \}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Mo 07.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Also gut, dann fang ich eben nochmal von vorne an:
Ich definiere mir laut Aufgabentext erst mal die beiden Ereignisse:
[mm] $A_1 [/mm] = [mm] \text{Summe der beiden Augenzahlen = 8}$
[/mm]
[mm] $A_2 [/mm] = [mm] \text{Betrag der Differenz der beiden Augenzahlen = 2}$
[/mm]
Nun stelle ich eine Grundmenge auf:
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{ (\omega_1, \omega_2) \in \{1,2,...,6\}^2 | \omega_1 = A_1 \text{ und } \omega_2 = A_2 \}$
[/mm]
Daraus ergibt sich für
[mm] $A_1=\{ (2,6);(3,5);(4,4);(5,3);(6,2) \} \Rightarrow P(A_1)=\frac{5}{36}$
[/mm]
[mm] $A_2=\{ (6,4);(5,3);(4,2);(3,1);(1,3);(2,4);(3,5);(4,6) \} \Rightarrow P(A_2)=\frac{8}{36}$
[/mm]
So. Und nun, laut meiner Formelsammlung beweise ich diese stochastische (Un-)Abhängigkeit mit dieser Formel:
[mm] $\Rightarrow P(A_1 \cap A_2) [/mm] = [mm] P(A_1) \cdot P(A_2)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] ? = [mm] \frac{5}{36} \cdot \frac{8}{36}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] ? = [mm] \frac{5}{162}$
[/mm]
So hier IST nun das Problem. Die rechte Seite der Gleichung ist klar. Einfach die Wahrscheinlichkeiten einsetzen. Aber was ist mit der linken Seite? Was MUSS ich hier MACHEN? Damit ich eine Aussage treffen kann muss ich dieses [mm] P(A_1 \cap A_2), [/mm] also die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge der oben definierten Mengen, in einer ZAHL ausdrücken wofür ich doch IRGENDWAS rechnen muss. Und genau dieses IRGENDWAS weiß ich NICHT.
Könnt ihr mir helfen? Die Großschreibung bitte nicht als schreien interpretieren. Ich will euch ja nicht anschreien
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Mo 07.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Bestimme [mm] A_1 \cap A_2 [/mm] und dann P( [mm] A_1 \cap A_2)
[/mm]
FRED
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Hiho,
und nochmal in Worten für dich (auch wenn das bereits gesagt wurde):
[mm] $A_1 \cap A_2$ [/mm] ist die Menge aller Elemente, die SOWOHL in [mm] A_1 [/mm] als AUCH in [mm] A_2 [/mm] sind.
Welche sind das in deinem Fall?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Mo 07.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Oh ja. Jetzt ist es mir wie Schuppen von den Augen gefallen...
[mm] $A_1 \cap A_2 =\{ (2,6);(3,5);(4,4);(5,3);(6,2) \} \cap \{ (6,4);(5,3);(4,2);(3,1);(1,3);(2,4);(3,5);(4,6) \} [/mm] = [mm] \{ (3,5);(5,3) \}$
[/mm]
[mm] $P(A_1 \cap A_2) [/mm] = [mm] \frac{2}{36}$
[/mm]
[mm] $P(A_1 \cap A_2) [/mm] = [mm] P(A_1) \cdot P(A_2)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{2}{36} \neq \frac{5}{36} \cdot \frac{8}{36}$
[/mm]
-> stochastisch Abhängig!
Jetzt richtig?
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Hallo bandchef,
> Oh ja. Jetzt ist es mir wie Schuppen von den Augen
> gefallen...
>
> [mm]A_1 \cap A_2 =\{ (2,6);(3,5);(4,4);(5,3);(6,2) \} \cap \{ (6,4);(5,3);(4,2);(3,1);(1,3);(2,4);(3,5);(4,6) \} = \{ (3,5);(5,3) \}[/mm]
>
> [mm]P(A_1 \cap A_2) = \frac{2}{36}[/mm]
>
> [mm]P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2)[/mm]
> [mm]\Rightarrow \frac{2}{36} \neq \frac{5}{36} \cdot \frac{8}{36}[/mm]
>
> -> stochastisch Abhängig!
>
>
> Jetzt richtig?
Jetzt ja. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Kleiner Nachtrag zu Hervorhebungen in Texten: Du kannst auch rot, blau oder grün schreiben, und natürlich fett, kursiv, unterstrichen oder durchgestrichen. Die meisten davon kannst Du sogar noch miteinander kombinieren: blau fett kursiv.
Damit hast Du bestimmt genügend Möglichkeiten, Wörter hervorzuheben, ganz ohne Großbuchstaben. Schau mal in den Quelltext dieses Beitrags, dann siehst Du, wie das geht. Es gäbe auch noch _mehr_ [mm] $\text{Tricks}\cdots$
[/mm]
Grüße
reverend
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Danke reverend für deine ausführliche Erläuterung wie ich etwas hervorgehoben darstellen kann. Das wusste ich wirklich noch nicht.
Ich hab noch eine speziellere Frage: Habt ihr Aufgaben hier in diesem Forum (oder auch spezielle Seiten im Netz) öffentlich zugänglich, die stochastische Abhängigkeiten betreffen?
Ich würde dazu noch gern ein paar weitere Übungsaufgaben machen! Wisst ihr da was?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 09.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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