(Un-)Stetigkeit der Argumentfu < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Mi 06.03.2013 | | Autor: | kaenzign |
Hallo miteinander
Kann mir jemand erklären warum die Argumentfunktion auf der negativen, reellen Achse nicht stetig ist? Habe nirgends eine einleuchtende Erklärung, geschweige denn einen Beweis gefunden..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Mi 06.03.2013 | | Autor: | kaenzign |
Noch eine weiter kurze Frage: (Habe leider die Editierfunktion nicht gefunden, deshalb ein neuer Post..)
ich zitiere aus meinem Skript:
"...Aus diesem Grund betrachtet man als De fitionsgebiet des Log üblicherweise nur die
Menge [mm] C^{-\*} [/mm] = C \ [mm] [0,\infty). [/mm] In diesem Fall kann man dann von Log als stetige Funktion reden."
Aber [mm] C^{-\*} [/mm] beinhaltet doch die negative reelle Achse, oder? Somit würde das obige Zitat ja nicht zutreffen..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Mi 06.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Noch eine weiter kurze Frage: (Habe leider die
> Editierfunktion nicht gefunden, deshalb ein neuer Post..)
> ich zitiere aus meinem Skript:
> "...Aus diesem Grund betrachtet man als De fitionsgebiet
> des Log üblicherweise nur die
> Menge [mm]C^{-\*}[/mm] = C \ [mm][0,\infty).[/mm] In diesem Fall kann man
> dann von Log als stetige Funktion reden."
>
> Aber [mm]C^{-\*}[/mm] beinhaltet doch die negative reelle Achse,
> oder? Somit würde das obige Zitat ja nicht zutreffen..
Da hat sich der Skriptschreiber vertan
[mm]C^{-\*}[/mm] = C \ [mm](-\infty,0].[/mm]
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Mi 06.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] x_0<0 [/mm] und [mm] z_n:=|x_0|e^{i(\pi-1/n)} [/mm] und [mm] w_n:=\overline{z_n}
[/mm]
Rechne nach: [mm] z_n \to x_0, w_n \to x_0
[/mm]
[mm] Arg(z_n) \to \pi [/mm] und [mm] Atg(w_n) \to [/mm] - [mm] \pi
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Sa 16.03.2013 | | Autor: | kaenzign |
Verstehe leider nicht ganz worauf du hinaus willst.
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Hallo,
> Verstehe leider nicht ganz worauf du hinaus willst.
Du willst zeigen, dass die $Arg$-Funktion auf der negativen reellen Achse unstetig ist. Deswegen nimmt FRED ein [mm] $x_0 [/mm] < 0$, also ein Element der negativen reellen Achse.
Desweiteren nimmt er nun zwei Folgen [mm] $(z_n)$, $(w_n)$ [/mm] aus komplexen Zahlen, die gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergieren.
Nach Def. der Stetigkeit in [mm] x_0 [/mm] müsste gelten: [mm] $Arg(z_n) \to Arg(x_0)$, $Arg(w_n) \to Arg(x_0)$.
[/mm]
Wenn du zeigst, dass [mm] $Arg(z_n)$ [/mm] aber gegen einen anderen Wert konvergiert als [mm] $Arg(w_n)$, [/mm] kann $Arg$ in [mm] x_0 [/mm] nicht stetig sein.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Sa 16.03.2013 | | Autor: | kaenzign |
Ok, das klingt ja ganz plausibel. Aber das Beispiel von Fred kann ich immernoch nicht ganz nachvollziehen. Warum konvergieren die Argumente gegen [mm] \pi [/mm] bzw [mm] -\pi?
[/mm]
[mm] $Arg(z_n)$ [/mm] ist ja [mm] (\pi-1)/n,$ [/mm] und [mm] $Arg(w_n)$ [/mm] ist [mm] -(\pi-1)/n
[/mm]
Für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] konvergieren die doch beide gegen 0, oder nicht?
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Hallo,
> Ok, das klingt ja ganz plausibel. Aber das Beispiel von
> Fred kann ich immernoch nicht ganz nachvollziehen. Warum
> konvergieren die Argumente gegen [mm]\pi[/mm] bzw [mm]-\pi?[/mm]
> [mm]Arg(z_n)[/mm] ist ja [mm](\pi-1)/n,[/mm] und [mm][/mm][mm] Arg(w_n) [/mm] ist
FRED meinte (und hat das auch so geschrieben): [mm] $\pi [/mm] - [mm] \frac{1}{n}$, [/mm] nicht [mm] $(\pi-1)/n$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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