Umwandlung komplexer Bruch < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Mo 26.12.2011 | | Autor: | Brenni |
| Aufgabe | Geben Sie folgende komplexe Zahl in algebraischer (kartesischer) Form an.
[mm] \bruch{5(1+2j)^{5}*(4-3j)^{2}}{(3+4j)^{3} * (2-j)^{4}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich komme bei gegebener Aufgabe einfach nicht weiter. Ich muss hier ja "nur" vereinfachen...als Lösung ist "-2,199 - j*0,404" gegeben...
Wenn ich jeweils die Klammern multipliziere, addieren sich ja die Exponenten und ich kann aus dem ganzen Konstrukt dann die 7. Wurzel ziehen. Dann komm ich auf
[mm] \bruch{\wurzel[7]{5}*(10+5j)}{10+5j}
[/mm]
Wenn ich nun mit (10-5j) erweitere, damit der Nenner reel wird, fällt leider auch im Zähler das j weg...und genau an dieser Stelle komm ich nicht weiter, eigentlich kann das ja nicht sein?
mfg,
Brenni
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Hallo Brenni,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Geben Sie folgende komplexe Zahl in algebraischer
> (kartesischer) Form an.
>
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> [mm]\bruch{5(1+2j)^{5}*(4-3j)^{2}}{(3+4j)^{3} * (2-j)^{4}}[/mm]
> Ich
> habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
>
> Hallo,
>
> ich komme bei gegebener Aufgabe einfach nicht weiter. Ich
> muss hier ja "nur" vereinfachen...als Lösung ist "-2,199
> - j*0,404" gegeben...
>
> Wenn ich jeweils die Klammern multipliziere, addieren sich
> ja die Exponenten und ich kann aus dem ganzen Konstrukt
> dann die 7. Wurzel ziehen. Dann komm ich auf
>
> [mm]\bruch{\wurzel[7]{5}*(10+5j)}{10+5j}[/mm]
>
> Wenn ich nun mit (10-5j) erweitere, damit der Nenner reel
> wird, fällt leider auch im Zähler das j weg...und genau
> an dieser Stelle komm ich nicht weiter, eigentlich kann das
> ja nicht sein?
>
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
> mfg,
> Brenni
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mo 26.12.2011 | | Autor: | Brenni |
Meine bisherigen Rechenschritte sind
Ausmultiplizieren der Klammern -->
[mm] \bruch{5(4-3j+8j-6j^{2})^{7}}{(6-3j+8j-4j^{2})^{7}}
[/mm]
Nun fasse ich alles was zusammenfassbar is zusammen unter Zuhilfename von j² = -1
[mm] \bruch{5(10+5j)^{7}}{(10+5j)^{7}}
[/mm]
Und nun ziehe ich aus eben diesem Ergebniss die 7. Wurzel, womit wir dann bei dem im vorherigen Posting geposteten Ergebnis von
$ [mm] \bruch{\wurzel[7]{5}\cdot{}(10+5j)}{10+5j} [/mm] $
ankommen. Jez erweitere ich das ganze mit (10-5j), so dass sich im Nenner die 3. binomische Formel bildet
[mm] \bruch{\wurzel[7]{5}*(10+5j)*(10-5j)}{(10+5j)*(10-5j)}
[/mm]
Wenn ich dieses Ergebniss jetzt ausrechne ergibt sich
[mm] \bruch{\wurzel[7]{5}(100+25j^{2}}{100+25j^{2}}
[/mm]
da j² = -1 ergibt sich
[mm] \bruch{\wurzel[7]{5}*75}{75}
[/mm]
Und mir ist somit jeglicher Imaginärteil "verloren" gegangen...allerdings gibt es ihn in der Lösung, weswegen mein Ansatz so ja nicht stimmen kann?
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Hallo Brenni,
> Meine bisherigen Rechenschritte sind
>
> Ausmultiplizieren der Klammern -->
>
> [mm]\bruch{5(4-3j+8j-6j^{2})^{7}}{(6-3j+8j-4j^{2})^{7}}[/mm]
>
Hier hast Du einfach die Klammerausdrücke im Zähler multipliziert,
sowie die zugehörigen Exponenten addiert. Das ist nicht richtig.
Das erste Ziel ist zunächst die Klammerausdrücke als
Vielfache der Klammerausdrücke im Zähler zu schreiben:
[mm]1+2j=c_{1}*\left(2-j\right), \ c_{1} \in \IC[/mm]
[mm]4-3j=c_{2}*\left(3+4j\right), \ c_{2} \in \IC[/mm]
Dann vereinfacht sich die Rechenarbeit.
> Nun fasse ich alles was zusammenfassbar is zusammen unter
> Zuhilfename von j² = -1
>
> [mm]\bruch{5(10+5j)^{7}}{(10+5j)^{7}}[/mm]
>
> Und nun ziehe ich aus eben diesem Ergebniss die 7. Wurzel,
> womit wir dann bei dem im vorherigen Posting geposteten
> Ergebnis von
>
> [mm]\bruch{\wurzel[7]{5}\cdot{}(10+5j)}{10+5j}[/mm]
>
> ankommen. Jez erweitere ich das ganze mit (10-5j), so dass
> sich im Nenner die 3. binomische Formel bildet
>
> [mm]\bruch{\wurzel[7]{5}*(10+5j)*(10-5j)}{(10+5j)*(10-5j)}[/mm]
>
> Wenn ich dieses Ergebniss jetzt ausrechne ergibt sich
>
> [mm]\bruch{\wurzel[7]{5}(100+25j^{2}}{100+25j^{2}}[/mm]
>
> da j² = -1 ergibt sich
>
> [mm]\bruch{\wurzel[7]{5}*75}{75}[/mm]
>
> Und mir ist somit jeglicher Imaginärteil "verloren"
> gegangen...allerdings gibt es ihn in der Lösung, weswegen
> mein Ansatz so ja nicht stimmen kann?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mo 26.12.2011 | | Autor: | Brenni |
Hm...mit der gegebenen Hilfe komm ich leider nicht viel weiter...
Ist es richtig, dass ich, wenn ich danach verfahre dann
[mm] \bruch{5*[c_{1}*(2-j)]^{5} *[c_{2}*(3+4j)]^{2}}{(3+4j)^{3} * (2-j)^{4}}
[/mm]
habe?
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Hallo Brenni,
> Hm...mit der gegebenen Hilfe komm ich leider nicht viel
> weiter...
>
> Ist es richtig, dass ich, wenn ich danach verfahre dann
>
> [mm]\bruch{5*[c_{1}*(2-j)]^{5} *[c_{2}*(3+4j)]^{2}}{(3+4j)^{3} * (2-j)^{4}}[/mm]
>
> habe?
Ja, dann kannst Du einiges kürzen.
Um den Ausdruck komplett ausrechnen zu können,
müssen [mm]c_{1}, \ c_{2} \in \IC[/mm] ermittelt werden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Mo 26.12.2011 | | Autor: | Brenni |
Wenn ich
$ [mm] \bruch{5\cdot{}[c_{1}\cdot{}(2-j)]^{5} \cdot{}[c_{2}\cdot{}(3+4j)]^{2}}{(3+4j)^{3} \cdot{} (2-j)^{4}} [/mm] $
nun also kürze, dann bleibt mir
[mm] \bruch{5*c_{1}^{5}(2-j)*c_{2}^{2}}{3+4j}
[/mm]
Das ganze jetzt erweitert mit 3-4j gibt
[mm] \bruch{c_{1}^{5}*c_{2}^{2}*(10-5j)*(3-4j)}{9-16}
[/mm]
und dann
[mm] \bruch{c_{1}^{5}*c_{2}^{2}*(10-55j)}{-7}
[/mm]
Wie verfahre ich jetzt weiter?
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Hallo Brenni,
> Wenn ich
>
> [mm]\bruch{5\cdot{}[c_{1}\cdot{}(2-j)]^{5} \cdot{}[c_{2}\cdot{}(3+4j)]^{2}}{(3+4j)^{3} \cdot{} (2-j)^{4}}[/mm]
>
> nun also kürze, dann bleibt mir
>
> [mm]\bruch{5*c_{1}^{5}(2-j)*c_{2}^{2}}{3+4j}[/mm]
>
> Das ganze jetzt erweitert mit 3-4j gibt
>
> [mm]\bruch{c_{1}^{5}*c_{2}^{2}*(10-5j)*(3-4j)}{9-16}[/mm]
>
Hier muss stehen:
[mm]\bruch{c_{1}^{5}*c_{2}^{2}*(10-5j)*(3-4j)}{9\blue{+}16}[/mm]
> und dann
>
> [mm]\bruch{c_{1}^{5}*c_{2}^{2}*(10-55j)}{-7}[/mm]
>
> Wie verfahre ich jetzt weiter?
Ohne Kenntnis der Faktoren [mm]c_{1}, \ c_{2}[/mm] kannst
Du den Ausdruck nicht berechnen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Mo 26.12.2011 | | Autor: | Brenni |
Wie kann ich denn nun ausgehend von
$ [mm] \bruch{c_{1}^{5}\cdot{}c_{2}^{2}\cdot{}(10-55j)}{-7} [/mm] $
die Faktoren bestimmen? In der Angabe steht nichts weiter und die gegebene Lösung ist auch eindeutig...
gruß,
Brenni
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Hallo Brenni,
> Wie kann ich denn nun ausgehend von
>
> [mm]\bruch{c_{1}^{5}\cdot{}c_{2}^{2}\cdot{}(10-55j)}{-7}[/mm]
>
Der Ausdruck stimmt nicht, das habe ich im letzten Post geschrieben:
[mm]\bruch{c_{1}^{5}\cdot{}c_{2}^{2}\cdot{}(10-55j)}{\red{9+16}}[/mm]
> die Faktoren bestimmen? In der Angabe steht nichts weiter
> und die gegebene Lösung ist auch eindeutig...
>
In einem der vorigen Posts habe ich Dir diesen Tipp gegeben:
[mm]1+2j=c_{1}\cdot{}\left(2-j\right), \ c_{1} \in \IC[/mm]
[mm]4-3j=c_{2}\cdot{}\left(3+4j\right), \ c_{2} \in \IC[/mm]
Aus diesen beiden Gleichungen lassen sich die Faktoren [mm]c_{1}, \ c_{2}[/mm] berechnen.
> gruß,
> Brenni
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mo 26.12.2011 | | Autor: | Brenni |
Vielen dank für die Hilfe....die zwei Gleichungen um c1 und c2 zu ermitteln hab ich im ganzen Wust jetzt glatt übersehen... so kann ich das ganze jetzt also einfach umformen und einsetzen und dann ausrechnen..gibts hierfür noch Möglichkeiten es schneller zu machen oder muss ich dann die binomischen Formeln 5. Grades "per Hand" berechnen
mfg,
Brenni
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Hallo Brenni,
> Vielen dank für die Hilfe....die zwei Gleichungen um c1
> und c2 zu ermitteln hab ich im ganzen Wust jetzt glatt
> übersehen... so kann ich das ganze jetzt also einfach
> umformen und einsetzen und dann ausrechnen..gibts hierfür
> noch Möglichkeiten es schneller zu machen oder muss ich
> dann die binomischen Formeln 5. Grades "per Hand"
> berechnen
>
Die eben gezeigte Methode erspart schon reichlich Rechenarbeit.
Wenn Du die Holzhammermethode anwendest,
dann musst Du alles ausmultiplizieren.
> mfg,
> Brenni
Gruss
MathePower
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