Umwandlung der Quantoren < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Do 11.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
| Aufgabe | Bilden Sie von der Aussage die Verneinung und stellen Sie fest ob die Aussage oder die Verneinung wahr ist:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in\IQ \exists [/mm] y [mm] \in \IQ [/mm] : x+y=0 |
Diese Aussage bedeutet: zu jedem x gibt es ein passendes y, sodass x+y=o. Das ist ja wahr. Aber wie beweise ich, dass das wahr ist? Die verneinung zum widerspruch führen? Aber wie lautet die verneinung? Ich krieg es nicht logisch hin...
ich weiß: Verneinung wandelt quantoren um.
also so (?): [mm] \exists [/mm] x [mm] \in\IQ \forall [/mm] y [mm] \in \IQ [/mm] : x+y=0.
das macht für mich aber keinen sinn, denn ich muss ja ein x finden zu dem es kein passendes y gibt...
ach, ich hab nen knoten im Kopf. Hilfe !!!
schonmal Danke für eure Zeit und Mühe,
Sarah
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Hallo,
> Bilden Sie von der Aussage die Verneinung und stellen Sie
> fest ob die Aussage oder die Verneinung wahr ist:
>
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in\IQ \exists[/mm] y [mm]\in \IQ[/mm] : x+y=0
> Diese Aussage bedeutet: zu jedem x gibt es ein passendes
> y, sodass x+y=o.
Genau. Und x und y sollen aus [mm] \IQ [/mm] sein.
> Das ist ja wahr.
Ja.
> Aber wie beweise ich,
> dass das wahr ist? Die verneinung zum widerspruch führen?
Nein. Eigentlich ist diese Aussage "trivial". Der Beweis könnte so aussehen:
Sei x [mm] \in \IQ [/mm] beliebig. Wähle y := -x. Dann ist y + x = x + (-x) = 0.
Du brauchst also lediglich, dass [mm] \IQ [/mm] ein Körper ist. Hattet ihr das?
> Aber wie lautet die verneinung? Ich krieg es nicht logisch
> hin...
>
> ich weiß: Verneinung wandelt quantoren um.
Genau. Aus [mm] \exists [/mm] wird [mm] \forall [/mm] und umgekehrt.
> also so (?): [mm]\exists[/mm] x [mm]\in\IQ \forall[/mm] y [mm]\in \IQ[/mm] : x+y=0.
Nein, das ist noch nicht richtig.
Die letzte Aussage muss ja auch verneint werden.
Du kannst deine Aussage schrittweise verneinen:
[mm] $\neg \Big(\forall [/mm] x [mm] \in\IQ:\exists [/mm] y [mm] \in \IQ [/mm] : [mm] x+y=0\Big)$
[/mm]
[mm] $\gdw \exists [/mm] x [mm] \in\IQ [/mm] : [mm] \neg \Big(\exists [/mm] y [mm] \in \IQ [/mm] : [mm] x+y=0\Big)$
[/mm]
[mm] $\gdw \exists [/mm] x [mm] \in\IQ :\forall [/mm] y [mm] \in \IQ [/mm] : [mm] \neg \Big(x+y=0\Big)$
[/mm]
[mm] $\gdw \exists [/mm] x [mm] \in\IQ :\forall [/mm] y [mm] \in \IQ [/mm] : [mm] x+y\not= [/mm] 0$
Im letzten Schritt wird benutzt, dass die Negation einer Gleichung die Ungleichung ist.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Do 11.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
der Beweis, dass die Aussage wahr ist ist dann ja easy, aber warum genau muss ich dazu wissen dass [mm] \IQ [/mm] ein Körper ist ?
( die Körperaxiome hatten wir in einer anderen Vorlesung, aber ich denke das darf ich annehmen)
muss ich das angeben um zu beweisen dass x+(-x) auch wirklich 0 ist, weil es ein inverses Element gibt?
Und danke für die Schrittweise Darstellung der Verneinung!! Ich hatte wohl vergessen aus dem = ein [mm] \not= [/mm] zu machen. Vielen Dank
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Hallo,
> der Beweis, dass die Aussage wahr ist ist dann ja easy,
> aber warum genau muss ich dazu wissen dass [mm]\IQ[/mm] ein Körper
> ist ?
> muss ich das angeben um zu beweisen dass x+(-x) auch
> wirklich 0 ist, weil es ein inverses Element gibt?
Ja. Du brauchst die Existenz eines additiv inversen Elements. (Dafür genügt es natürlich schon, wenn du weißt, dass [mm] $(\IQ,+)$ [/mm] eine Gruppe ist).
Viele Grüße,
Stefan
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