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Hallo,
könnt ihr mir vielleicht plausibel erklären, wie man sich Folgendes herleitet:
[mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{x^n - a^n}{x - a} [/mm] = n * a^(n - 1)
Wär echt nett!
Danke,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 So 29.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Martin
dividier mal [mm] x^n-a^n [/mm] durch x-a!
wenn ihr die Formel nicht hattet, machs erst mal für n=2 und 3 und beweis sie dann mit vollst. Induktion.
Gruss leduart
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Versteh ich wieder mal nicht. Wenn ich da mit Induktion herangehe:
[mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{x^2 - a^2}{x - a} [/mm] = ?
Wie komm ich davon jetzt auf 2a???
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Hallo Martin,
mache doch mal die Polynomdivision [mm] $(x^n-a^n):(x-a)$
[/mm]
Wirst sehen, dass da [mm] $x^{n-1}+x^{n-2}a+x^{n-3}a^2+.....+x^2a^{n-3}+xa^{n-2}+a^{n-1}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}a^k$ [/mm] rauskommt.
Das kannst du halt per Induktion beweisen.
Wenn du genau hinschaust, sind das genau n Summanden.
Lässt du nun [mm] $x\rightarrow [/mm] a$ gehen, so steht da [mm] $\underbrace{a^{n-1}+a^{n-1}+.....+a^{n-1}}_{n-mal}=n\cdot{}a^{n-1}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hi,
schau mal unter dem Stichwort "L'Hospital'sche Regel nach".
Wenn Zähler- und Nennerfunktion gleichzeitig gegen 0 konvergieren oder gleichzeitig bestimmt divergieren, so kann eine Aussage über den Grenzwert der Funktion [mm]y=\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] über [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f'(x)}{g'(x)}[/mm] erfolgen.
Die Vorraussetzungen sind hier erfüllt. Wenn du Zähler und Nenner ableitest erhälst du genau das Ergebnis.
> Hallo,
> könnt ihr mir vielleicht plausibel erklären, wie man sich
> Folgendes herleitet:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow a}\bruch{x^n - a^n}{x - a}[/mm] = n * a^(n
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> Martin
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de l'Hospital