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Hallo
versuche gerade eine Rechnung nachzuvollziehen und stolpere ueber Folgendes: Offenbar gilt:
[mm] \summe_{i \in N_0^k}^{} \bruch{k!}{(k-i)!i!} \lambda_1^{k-i} \lambda_2^i [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{k} \vektor{k \\ i} \lambda_1^{k-i} \lambda_2^i
[/mm]
Kann mir einer bitte zeigen wie man darauf kommt?
Danke,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Do 21.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo sancho
das ist die Definition von k über i
Gruss leduart
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hmmm
ich weiss nur dass
[mm] \vektor{k \\ i} [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{i} \bruch{k + 1 - j}{j}
[/mm]
Aber wie komm ich auf das andere? Hast du irgend einen Link fuer mich?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Do 21.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Sancho
> hmmm
> ich weiss nur dass
>
> [mm]\vektor{k \\ i}[/mm] = [mm]\produkt_{j=1}^{i} \bruch{k + 1 - j}{j}[/mm]
>
> Aber wie komm ich auf das andere? Hast du irgend einen Link
> fuer mich?
Das ist einfach dsselbe! im Nenner steht doch schon die Definition von i! der Zähler ist k!/(k-i)!
wenn dus nicht siehst, schreibs mit pünktchen und überleg was k!/(k-i)! ist.
Gruss leduart
Gruss leduart
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Danke!
Kannst du mir jetzt vielleicht noch Folgendes erklaeren, bitte:
[mm] \bruch{1}{k!} \summe_{i=0}^{k} \vektor{k \\ i} \lambda_1^{k-i} \lambda_2^i [/mm] = [mm] e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} \bruch{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!}
[/mm]
Danke,
Martin
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Whoa, da hast du jetzt bestimmt einiges durcheinander gewürfelt.... Hallo erstmal 
Fangen wir mal an:
[mm]\bruch{1}{k!} \summe_{i=0}^{k} \vektor{k \\ i} \lambda_1^{k-i} \lambda_2^i[/mm]
So, betrachten wir uns erstmal: [mm]\summe_{i=0}^{k} \vektor{k \\ i} \lambda_1^{k-i} \lambda_2^i[/mm]
Nach dem ![[]](/images/popup.gif) binomischen Lehrsatz ist dies gerade [mm](\lambda_1 + \lambda_2)^k[/mm]
Somit steht da schonmal:
[mm]\bruch{1}{k!} \summe_{i=0}^{k} \vektor{k \\ i} \lambda_1^{k-i} \lambda_2^i = \bruch{1}{k!}(\lambda_1 + \lambda_2)^k = \bruch{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!}[/mm]
Ich denke soweit ists klar.
Fragt sich jetzt nur noch, wie dein [mm]e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}[/mm] zustande kommt.
Nun glaube ich, du hast ein Summenzeichen vergessen, denn es gilt nämlich:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!} = e^x[/mm]
D.h. in deinem Fall:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!} = e^{(\lambda_1 + \lambda_2)}[/mm]
Oder sollst du vielleicht zeigen, daß:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} * \bruch{1}{k!} \summe_{i=0}^{k} \vektor{k \\ i} \lambda_1^{k-i} \lambda_2^i = 1 [/mm] ?
Naja, spekulieren nützt nix.
Am besten wäre es, du guckst über deine Formel nochmal drüber und gibst dann nochmal nen Hinweis.
MfG,
Gono.
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