Umstellen einer Funktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] f(x)=(3x^2)/(9x^3+18) [/mm] |
Ich soll aus dieser Funktion das Stammintegral machen. Weiß aber leider nicht mehr genau wie das jetzt war. Hatte überlegt, den unteren Teil des Bruches nach oben zu bringen, da dann das integrieren einfacher ist.
Mein Problem ist aber, dass ich nicht genau weiß, wie das dann geschrieben werden soll...
Hätte als Vorschlag folgendes anzubieten:
[mm] f(x)=(3x^2)+((9x^3/2)+18/2)
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Di 21.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo DarkTempler!
So kommst Du nicht weiter. Wende hier das Verfahren der Substitution an und substituiere den Nenner:
$$u \ := \ [mm] 9x^3+18$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Danke!
Ich habe mich mal daran versucht und bin zu folgendem Ergebniss gekommen:
[mm] u=9x^3+18
[/mm]
u'= [mm] 27x^2
[/mm]
du/dx => dx= [mm] du/27x^2
[/mm]
= [mm] (3x^2/u)*27x^2 [/mm]
[mm] [3x^2/(9x^3+18)*27x^2]
[/mm]
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> Danke!
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> Ich habe mich mal daran versucht und bin zu folgendem
> Ergebniss gekommen:
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> [mm]u=9x^3+18[/mm]
> u'= [mm]27x^2[/mm]
>
> du/dx => dx= [mm]du/27x^2[/mm]
>
> = [mm](3x^2/u)*27x^2[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Ab hier wird es falsch
>
> [mm][3x^2/(9x^3+18)*27x^2][/mm]
Ich weiß nicht genau, was du dir dabei gedacht hast, aber du hast doch noch gar nicht integriert? Die Substitution soll dir aber doch gerade ermögliche, eine Integration durchzuführen, du hast aber u einfach im Integral wieder rückeingesetzt!
So sollte es aussehen:
$ [mm] dx=\bruch{du}{27x^2} [/mm] $
$ [mm] \integral{\bruch{3x^2}{9x^3+18}dx}=\integral{\bruch{3x^2}{u}dx}=\integral{\bruch{3x^2}{27x^2u}du}= \integral{\bruch{1}{9u}du} [/mm] $
Jetzt musst du erstmal integrieren, wobei sich das Problem jetzt auf [mm] \bruch{1}{x} [/mm] reduziert, was ja bekanntlich aufgeleitet $ ln|x| $ ist
$ [mm] \integral{\bruch{1}{9u}du}=\bruch{1}{9}*ln|u|+C=\bruch{1}{9}*ln|(9x^3+18)| [/mm] +C $
Das fertig gekürzte Ergebnis $ [mm] \bruch{1}{9}*ln|x^3+2| [/mm] $
Dies würdest du erhalten, wenn du deinen Anfangsbruch einfach einmal durch 3 geteilt hättest, wie man sofort hätte sehen müssen :)
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Vielen Dank, nun habe ich es glaube ich auch verstanden...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Mi 22.10.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm]f(x)=(3x^2)/(9x^3+18)[/mm]
> Ich soll aus dieser Funktion das Stammintegral machen.
> Weiß aber leider nicht mehr genau wie das jetzt war. Hatte
> überlegt, den unteren Teil des Bruches nach oben zu
> bringen, da dann das integrieren einfacher ist.
> Mein Problem ist aber, dass ich nicht genau weiß, wie das
> dann geschrieben werden soll...
Hallo,
der Zähler ist (fast) die Ableitung des Nenners.
Die Ableitung von [mm] 9x^3+18 [/mm] ist exakt [mm] 27x^2, [/mm] der Zähler ist 1/9 davon.
Du kannst also ansetzen [mm] f(x)=\bruch{1}{9}*(27x^2)/(9x^3+18), [/mm] und eine Stammfunktion davon ist
[mm] F(x)=\bruch{1}{9}*ln(9x^2+18)
[/mm]
Gruß Abakus
> 1
> Hätte als Vorschlag folgendes anzubieten:
>
> [mm]f(x)=(3x^2)+((9x^3/2)+18/2)[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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