Umsatzmaximum < Ökonomische Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Eine neue Konzerthalle für 60000 Besucher wurde gebaut. Momentan kostet die Eintrittskarte zu jedem Spiel 40. In den 4 Top Konzerten des letzten Jahres war die Halle ausverkauft und zu jedem der 4 Konzerte hätten noch 15000 weitere Karten verkauft werden können. In den restlichen 14 Konzerten waren im Durchschnitt 30000 Besucher. Eine Studie am Mark ergab, dass die Preiselastizität -3 ist. |
Preiselastizität -3 bedeutet ja bei 1% Preiserhöhung -3% Zuschauer und umgekehrt.
Nun könnte ich das Umsatzmaximum natürlich ganz einfach über Näherungsrechnungen herausbekommen, im Sinne von:
x= Kartenpreis
Umsatz = 60000 * x *4 + 30000 * x * 14
Mit einer netten Tabelle in Excel kommt man da ziemlich schnell drauf.
ABER, ich glaube das ist leider nicht im Sinne des Erfinders und das ganze soll über eine Funktion welche die Preiselastizität beinhaltet und zu einem eindeutigeren Ergebnis als "Näherungswert raten" führt gelöst werden (mein Problem).
Ich weiss auch, das f(x) = [mm] \bruch{C}{x³} [/mm] konstant -3 ist, wenn C konstant ist.
Ab hier bin ich jedoch mit meinem Latein am Ende, kann mir wer weiter helfen bitte?
Gruss
Exil
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Do 01.11.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Umsatz = 60000 * x *4 + 30000 * x * 14
Das stimmt nicht. Das ist der Umsatz bei x=40. Würdest du x auf 44 erhöhen, dann wäre der Umsatz 60000*x*4+21000*x*14. D.h. die Besucherzahl sollst du in Abhängigkeit von x ausdrücken und dann nach x ableiten.
Das knifflige an der Aufgabe ist, dass man es mit zwei Preis-Absatz-Funktionen zu tun hat: eine für die 4 Top-Dinger und eine für die 14 langweiligen. Die sind aber trotzdem ziemlich leicht aufzustellen, da du weißt welcher Form die sind (wegen der Elastizität).
Gruß,
dormant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:22 Do 01.11.2007 | | Autor: | ExilMortus |
Das sich je nachdem ob ich den Preis erhöhe, bzw. Senke auch die Zuschauerzahlen ändern ist mir klar, wusste ich aber leider vorher auch schon.
Wie gesagt ich hab ein annäherndes Ergebnis, allerdings nicht über eine Funktion mit Preiselastizität, bin also genauso schlau wie vorher :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:14 Do 01.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich hoffe ich versteh die Aufgabe richtig:
Fall 1: Top-Konzerte:
U(x)=(40+0,4x)(75000-2250x)
Wenn ich den Preis um 0,4 [mm] (\hat= [/mm] 1% von 40), habe ich 2250 Besucher [mm] (\hat= [/mm] 3% von 75000) weniger. 75000, da sie ja hätten 75000 verkaufen können.
Aber da nur maximal 60000 verkaufte Karten sinnvoll sind, kann man sich ja das x dafür ausrechnen... 75000-2250x=60000.
[mm] x=\bruch{20}{3}
[/mm]
[mm] p=42,\overline{6}Euro
[/mm]
Also hätte man für diesen Preis die Karten verscherbeln sollen, dan wären genau alle Plätze gefüllt gewesen und man hätte statt (40*60000)Euro [mm] (42,\overline{6}*60000)Euro [/mm] eingenommen.
Ein Extremwert würde zwar bei [mm] x=-\bruch{100}{3} [/mm] mit einem Umsatz von 4000000 vorliegen, aber dann müsste man auch Platz für 150000 Leute haben...
Das gleiche könnte man nun für die "öden" Konzerte machen.
In dem Sinne: Gute Nacht.
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Argh, ich seh gerad habe eine wichtige Angabe vergessen, die Ticketpreise sollen einheitlich sein, sprich Top Konzerte und die normalen Konzerte sollen gleiche Kartenpreise haben. Sry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Do 01.11.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Der ganze Trick bei der Aufgabe ist die richtigen Preis-Absatz-Funktionen aufzustellen. Wie du schon richtig angemerkt hast, hat eine Funktion der Form [mm] M=\bruch{C}{P^{3}} [/mm] eine konstante Preiselastizität auf dem Definitionsbereich.
Für die langweiligen Konzerte ist somit [mm] 30000=\bruch{C}{40^{3}}, [/mm] oder C=30000*2560000.
Für die zweite Funktion sollst du zwei Fälle unterscheiden: einmal ist der Preis bis [mm] \bruch{16*40}{15}, [/mm] bis zu diesem Preis sind die Topkonzerte voll-belegt (d.h. hier braucht man keine Funktion, da der Umsatz konstant ist), und einmal ist er drüber, da sollst du genau wie bei den langweiligen Konzerten ein C bestimmen.
Dann kriegst du 2 Umsatzfinktionen:
I. Fall: [mm] P\le\bruch{16*40}{15} [/mm] => [mm] U(P)=\bruch{C}{P^{3}}*P*14+60000*P*4 [/mm] mit C=30000*64000.
II. Fall: [mm] P>\bruch{16*40}{15} [/mm] => [mm] U(P)=\bruch{C}{P^{3}}*P*14+\bruch{C_{top}}{P^{3}}*P*4=\bruch{C*14+C_{top}*4}{P^{2}}.
[/mm]
Beide U-Funktionen sollst du getrennt von einander maximieren (1. Ableitung) und die jeweiligen Maxima vergleichen.
Gruß,
dormant
Gruß,
dormant
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Hi,
wie kommst du auf die [mm] \bruch{16*40}{15} [/mm] und 40³ ist doch nicht 2560000 oder wie kommst du auf diesen Wert ?
Gruss
Exil
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Fr 02.11.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> wie kommst du auf die [mm]\bruch{16*40}{15}[/mm] und 40³ ist doch
> nicht 2560000 oder wie kommst du auf diesen Wert ?
Eine Preiserhöhung um [mm] \bruch{1}{15} [/mm] bewirkt einen Rückgang von [mm] \bruch{1}{5} [/mm] ben den Leuten, die bereit sind diesen Preis zu zahlen. Falls der betrachtete Preis 40 ist, so sinkt die Anzahl der jenigen, die bereit sind das zu zahlen, von 75 000 um 20% auf 60 000.
[mm] 40^{3}=64000, [/mm] ich habe mich verrechnet.
Gruß,
dormant
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Ok, nun weiss ich wie du auf den Bruch kommst, doch welchen Sachverhalt stellt die Zahl 16 dar? Was gibt die wieder?
Ich mein wenn ich jetzt den Preis um [mm] 6,\overline{6} [/mm] % erhöhe sinkt meine Zuschauerzahl von 75000 auf 60000 ja. Mit dem Bruch komm ich auch auf diese besagten [mm] 6,\overline{6} [/mm] Betrag ja, aber wieso 16 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Sa 03.11.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Vom vorherigen Post soll klar geworden sein, dass eine Preiserhöhung um [mm] \bruch{1}{15} [/mm] einen Rückgang bei den Zuschauern von 75000 auf 60000 bewirkt.
Die Magie versteckt sich hinter der Gleichung [mm] \bruch{1}{15}=0,0\overline{6}=6,\overline{6} [/mm] %.
Wenn der Preis von 40 um [mm] \bruch{1}{15} [/mm] erhöht wird, so wird er [mm] 40+\bruch{1}{15}=\bruch{40+16}{15} [/mm] . Oder wenn du keine Brüche magst kannst du den Preis um [mm] 6,\overline{6} [/mm] % auf [mm] 1,0\overline{6}*40 [/mm] erhöhen.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Sa 03.11.2007 | | Autor: | dionaea |
hi
woher hast du die formeln für die umsatzfunktionen?
erklärst du mir bitte wie du darauf kommst?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Sa 03.11.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Festgestellt hat man, dass die Preis-Abstazfunktion der Form [mm] M(P)=\bruch{C}{P^{3}} [/mm] ist.
Aus der Angabe M(40)=30 000 konnte man die Konstante C in der Preis-Absatz-Funktion der langweiligen Konzerte bestimmen.
Analog kann man die Konstante [mm] C_{top} [/mm] für die Top-Konzerte durch die Angabe [mm] M_{top}(40)=75 [/mm] 000 bestimmen in der Preis-Absatz-Funktion der Top-Konzerte.
Wegen Kapazitätsbeschränkungen soll man aber 2 Fälle unterscheiden:
1. Fall: zu den Top-Konzerten wollen mehr als 60 000 Leute gehen. Dann steht die Besucherzahl in keinem funktionalen Zusammenhang mit dem Preis, d.h. die Preis-Absatz-Funktion ist konstant M(P)=60 000.
2. Fall: zu den Top-Korzenten wollen weniger als 60 000 hin. Dann soll man [mm] C_{top} [/mm] mithilfe der Angabe [mm] M_{top}(40)=75 [/mm] 000 bestimmen.
Im vorherigen Post habe ich erklärt wieso der 1. Fall für Preise bis [mm] \bruch{16}{15}*40 [/mm] und der 2. für Preise drüber auftritt.
Mit all diesen Überlegungen soll man eine Umsatzfunktion U(P) aufstellen. JEDE Umsatzfunktion hat die Form U(P)=M(P)*P.
Im Fall 1 lautet die Umsatzfunktion [mm] U(P)=(M(P)*14+M_{top}(P)*4)*P=\left(\bruch{C}{P^{3}}*14+60000*4\right)*P.
[/mm]
Im Fall 2 lautet sie - [mm] U(P)=\left(\bruch{C}{P^{3}}*14+\bruch{C_{top}}{P^{3}}*4\right)*P.
[/mm]
Gruß,
dormant
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:53 Sa 03.11.2007 | | Autor: | dionaea |
ich versteh schon, worauf du hinaus willst....
ich hab aber stark den eindruck, dass diese funktion nicht differenzierbar ist... mit einer sprungstelle an x0...
außerdem hab ich so das gefühl dass ich den fall in dem weniger als 60.000 leute zu den top-konzerten wollen nicht betrachten muss, da das so oder so nicht eintreten wird, ich sollte doch nur meine ticketpreise derart maximieren, dass bei den langweiligen konzerten die halle auch ausverkauft ist
dazu müsste ich das ganze doch eigentlich anders betrachten: und zwar 2fälle: der eine bei dem meine funktion mit der ausverkauften halle ein maximum hat und der zweite bei welchem preis die funktion der langweiligen konzerte ein maximum hat
mir ist das doch eigentlich ziemlich egal, ob die nachfrage für die interessanten konzerte überdurschnittlich wird, den meisten umsatz (und somit auch gewinn) mache ich, wenn ich es schaffe, die halle für alle konzertereignisse ausgebucht zu bekommen, und dazu muss ich mir doch nur ansehen, bei welchem preis die langweiligen konzerte auch ausverkauft sind, oder?
und dazu kann ich die umsatzfunktionen auch getrennt aufstellen, oder?
das führt mich aber wieder zu dem problem, dass ich für die 1.Ableitung dieser funktion kein maximum ermitteln kann... da diese die form 28C/x² hat.... oder??? [U(x)=C/x³*x*14 -> 14Konzerte] stimmt das so ungefähr?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Mo 05.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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