Umordnung von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:42 Sa 19.11.2005 | | Autor: | mastercpp |
Guten Tag.
Ich habe ein paar Probleme mit dem dieswöchigen Übungsblatt. Eine Aufgabe davon lautet:
Es sei [mm]a_{n} := \summe_{k = 2^{n-1}}^{2^{n}-1}\bruch{1}{2k-1}[/mm] für [mm]n \in \IN[/mm]. Man zeige: Die Reihe [mm]S := a_1 - \bruch{1}{2} + a_2 - \bruch{1}{4} + ... + a_n - \bruch{1}{2n} + ...[/mm] ist eine Umordnung der Konvergenten Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \bruch{1}{n}[/mm] und divergiert gegen [mm]+\infty[/mm].
Nach dem Skript von unserem Prof ist eine Reihe eine Umordnung einer Anderen, wenn es eine bijektive Abbildung [mm]t: \IN_0 \to \IN_0[/mm] gibt, mit [mm]w_n = z_{t(n)}[/mm]. Nun müsste ich also beweisen, dass es eine solche bijektive Abbildung gibt. Da ich aber nicht weiß wie, habe ich etwas anderes nersucht:
Zunächst ersetze ich die [mm]a_n[/mm] der Reihe S durch die entsprechenden Werte: [mm]S := \bruch{1}{1} - \bruch{1}{2} + \bruch{1}{3} + \bruch{1}{5} - \bruch{1}{4} + \bruch{1}{7} + \bruch{1}{9} + \bruch{1}{11} + \bruch{1}{13} - \bruch{1}{6} + ...[/mm]
Auch die konvergente Reihe stelle ich in dieser Form da:
[mm] \bruch{1}{1} - \bruch{1}{2} + \bruch{1}{3} - \bruch{1}{4} + \bruch{1}{5} - \bruch{1}{6} + \bruch{1}{7} - \bruch{1}{8} ... [/mm]
Es fällt auf, dass in beiden Reihen vor den Brüchen mit geradem Nenner ein '-' und vor den Brüchen mit ungeradem Nenner ein '+' steht - die Einzelnen Terme also nur umgeordnet worden sind.
Die Reihe S divergiert gegen [mm]+\infty[/mm], da die Anzahl der positiven Brüche für große n viel gröer ist als die Anzahl der negativen Brüche.
Könnte man das so (oder so ähnlich) schreiben? Oder ist das zu unmathematisch?
Vielen Dank im Voraus
Mit freundlichen Grüßen
mastercpp
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]"){kind=small}
.
